Spazi riga e colonna, sistemi lineari e polinomi

Sottospazio delle righe e delle colonne di una matrice

Data una matrice $𝑨\in {𝕄}_{𝑚,𝑛}\left(ℝ\right)$, le sue righe e le sue colonne sono vettori dello spazio delle ennuple:

$$\left\{{𝒓}_1,\dots ,{𝒓}_{𝑚}\right\}\subset {ℝ}^{𝑛}\wedge \left\{{𝒄}_1,\dots ,{𝒄}_{𝑛}\right\}\subset {ℝ}^{𝑚}$$

Il sottospazio generato dalle righe di $𝑨$ si denota con:

$$𝑅\left(𝑨\right)=span\left({𝒓}_1,\dots ,{𝒓}_{𝑚}\right)$$

Quello generato dalle colonne di $𝑨$:

$$𝐶\left(𝑨\right)=span\left({𝒄}_1,\dots ,{𝒄}_{𝑛}\right)$$

Sistemi lineari e sottospazi

L’insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $𝑨𝒙=\mathrm{𝟎}$ è un sottospazio di ${ℝ}^{𝑛}$. Questa proprietà è anche invertibile (ogni sottospazio di ${ℝ}^{𝑛}$ può essere interpretato come l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo).

Procedura per passare da un sottospazio ad un sistema omogeneo

Dato l’insieme $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}$ di vettori di ${ℝ}^{𝑛}$, bisogna trovare un sistema lineare omogeneo le cui soluzioni siano i vettori $𝒙\in span\left({𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right)$.

Detta $𝑨=\left[\begin{array}{ccc}{𝒗}_1& \dots & {𝒗}_{𝑘}\end{array}\right]$ la matrice che ha i vettori come colonne, il sistema cercato deve soddisfare la seguente condizione:

$$rg\left(𝑨\right)=rg\left(𝑨|𝒙\right)$$

Esempio:

Date 2 ennuple ${𝒗}_1=\left(-1,1,0,-3\right)$ e ${𝒗}_2=\left(1,-1,2,1\right)$, troviamo il sistema lineare omogeneo le cui soluzioni sono lo spazio $span\left({𝒗}_1,{𝒗}_2\right)\subset {ℝ}^4$.

$$\left(𝑨|𝒙\right)=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& {𝑥}_1\\ 1& -1& {𝑥}_2\\ 0& 2& {𝑥}_3\\ -3& 1& {𝑥}_4\end{array}\right]$$

Riduciamo $\left(𝑨|𝒙\right)$ a scalini:

$$\left(𝑨|𝒙\right)=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& {𝑥}_1\\ 0& -2& -3{𝑥}_1+{𝑥}_4\\ 0& 0& -3{𝑥}_1+{𝑥}_3+{𝑥}_4\\ 0& 0& {𝑥}_1+{𝑥}_2\end{array}\right]$$

Il sistema lineare che rende $rg\left(𝑨\right)=rg\left(𝑨|𝒙\right)$ è:

$$\{\begin{array}{c}-3{𝑥}_1+{𝑥}_3+{𝑥}_4=0\\ {𝑥}_1+{𝑥}_2=0\end{array}$$

Polinomi come spazi vettoriali

$ℝ\left[𝑥\right]$ è lo spazio dei polinomi a coefficienti reali. Si definisce:

$$ℝ\left[𝑥\right]=\left\{\sum _{𝑖=0}^{𝛿}{𝑎}_{𝑖}{𝑥}^{𝑖}\text{con}𝛿\in \mathbb{N}\text{e}{𝑎}_{𝛿}\ne 0\right\}\cup \left\{\mathrm{𝟎}\right\}$$

$𝛿$ è il grado del polinomio (per il polinomio nullo il grado non è definito).

$ℝ\left[𝑥\right]$ non è finitamente generato: dato un insieme finito ${𝑝}_1\left(𝑥\right),\dots ,{𝑝}_{𝑘}\left(𝑥\right)$ con massimo grado $𝑀$, il polinomio ${𝑥}^{𝑀+1}$ ha grado maggiore di $𝑀$ e non appartiene a $span\left({𝑝}_1\left(𝑥\right),\dots ,{𝑝}_{𝑘}\left(𝑥\right)\right)$.

${ℝ}_{𝑑}\left[𝑥\right]$ è lo spazio dei polinomi di grado massimo $𝑑$. Esso è finitamente generato; un sistema di generatori è $\left\{1,𝑥,{𝑥}^2,\dots ,{𝑥}^{𝑑}\right\}$.

Altri esempi e controesempi di sottospazi vettoriali

Dato lo spazio vettoriale $𝑉={𝕄}_2\left(ℝ\right)$:

• Il sottoinsieme delle matrici a traccia nulla (la somma degli elementi sulla diagonale principale è $0$) è un sottospazio di $𝑉$:

  $$𝑈=\left\{\left[\begin{array}{cc}{𝑎}_{1,1}& {𝑎}_{1,2}\\ {𝑎}_{2,1}& {𝑎}_{2,2}\end{array}\right]\in 𝑉|{𝑎}_{1,1}+{𝑎}_{2,2}=0\right\}$$

• Il sottoinsieme delle matrici invertibili $𝑈=\left\{𝑨|\exists {𝑨}^{-1}\right\}$ non è un sottospazio. La matrice nulla $\mathrm{𝟎}$ non è invertibile perché $rg\left(\mathrm{𝟎}\right)\ne 𝑛$.

Dato $𝑉=ℝ\left[𝑥\right]$:

• Il sottoinsieme $𝑈=\left\{𝑝\left(𝑥\right)|𝑝\left(1\right)=0\right\}$ è un sottospazio.
• Il sottoinsieme $𝑈=\left\{𝑝\left(𝑥\right)|\text{il grado di}𝑝\left(𝑥\right)\text{è d}\right\}$ non è un sottospazio perché non contiene l’elemento nullo.

Dipendenza e indipendenza lineare

• L’insieme $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}$ è linearmente dipendente se esistono ${𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑘}$ coefficienti non tutti nulli, tali che:

  $$\sum _{𝑖=1}^{𝑘}{𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}=\mathrm{𝟎}$$

• L’insieme $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}$ è linearmente indipendente quando:

$$\sum _{𝑖=1}^{𝑘}{𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}=\mathrm{𝟎}\iff {𝜆}_1=\dots ={𝜆}_{𝑘}=0$$

Se $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}$ è linearmente dipendente e se $𝑘\ge 2$, allora almeno uno dei vettori dell’insieme può essere scritto come combinazione lineare degli altri elementi.

$${𝜆}_1{𝒗}_1+{𝜆}_2{𝒗}_2+{𝜆}_3{𝒗}_3=\mathrm{𝟎}\text{con}{𝜆}_3\ne 0\iff {𝒗}_3=-\frac{{𝜆}_1}{{𝜆}_3}{𝒗}_1-\frac{{𝜆}_2}{{𝜆}_3}{𝒗}_2$$

Dipendenza e indipendenza lineare con le ennuple

Dato un insieme $𝑆=\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}\subseteq {ℝ}^{𝑛}$, la matrice $𝑨=\left[\begin{array}{ccc}{𝒗}_1& \dots & {𝒗}_{𝑘}\end{array}\right]$ e $𝝀=\left[\begin{array}{c}{𝜆}_1\\ ⋮\\ {𝜆}_{𝑘}\end{array}\right]$:

• $𝑆$ è linearmente indipendente quando $rg\left(𝑨\right)=𝑘$, cioè quando il sistema $𝑨𝝀=\mathrm{𝟎}$ ha come unica soluzione $𝝀=\mathrm{𝟎}$.
• $𝑆$ è linearmente dipendente quando il sistema $𝑨𝝀=\mathrm{𝟎}$ ha soluzioni non nulle.