Vettori, piani e rette nello spazio cartesiano

Coordinate tridimensionali

Ogni punto in uno spazio ha 3 coordinate. Un vettore $\overrightarrow{𝐴𝐵}$ è composto da:

$$\left({𝑥}_{𝐵}-{𝑥}_{𝐴},{𝑦}_{𝐵}-{𝑦}_{𝐴},{𝑧}_{𝐵}-{𝑧}_{𝐴}\right)$$

Decomposizione di un vettore sugli assi

Chiamiamo $𝒊$, $𝒋$ e $𝒌$ i versori ortogonali tra loro e paralleli agli assi cartesiani $𝑥$, $𝑦$ e $𝑧$ rispettivamente. Le coordinate di un vettore si possono scrivere come:

$$𝒗={𝑣}_1𝒊+{𝑣}_2𝒋+{𝑣}_3𝒌$$

oppure:

$$𝒗=\left(𝒗\cdot 𝒊,𝒗\cdot 𝒋,𝒗\cdot 𝒌\right)$$

Operazioni tra vettori con le coordinate

Somma

Dati $𝒗=\left({𝑣}_1,{𝑣}_2,{𝑣}_3\right)$ e $𝒘=\left({𝑤}_1,{𝑤}_2,{𝑤}_3\right)$:

$$𝒗+𝒘=\left({𝑣}_1+{𝑤}_1,{𝑣}_2+{𝑤}_2,{𝑣}_3+{𝑤}_3\right)$$

Prodotto per uno scalare

Dati $𝒗=\left({𝑣}_1,{𝑣}_2,{𝑣}_3\right)$ e $𝜆\in ℝ$:

$$𝜆𝒗=\left(𝜆{𝑣}_1,𝜆{𝑣}_2,𝜆{𝑣}_3\right)$$

Prodotto scalare

Dati $𝒗=\left({𝑣}_1,{𝑣}_2,{𝑣}_3\right)$ e $𝒘=\left({𝑤}_1,{𝑤}_2,{𝑤}_3\right)$:

$$𝒗\cdot 𝒘={𝑣}_1{𝑤}_1+{𝑣}_2{𝑤}_2+{𝑣}_3{𝑤}_3$$

Modulo di un vettore

Dato $𝒗=\left({𝑣}_1,{𝑣}_2,{𝑣}_3\right)$:

$$\Vert 𝒗\Vert =\sqrt{{𝑣}_1^2+{𝑣}_2^2+{𝑣}_3^2}$$

Equazioni di un piano nello spazio

Equazione cartesiana

Un piano $𝜋$ nello spazio è determinato da un punto $𝑃\in 𝜋$ e da un vettore $𝒏$ ortogonale a $𝜋$.

In altre parole, $𝜋$ è il luogo dei punti $𝑄=\left(𝑥,𝑦,𝑧\right)$ dello spazio tali che $\overrightarrow{𝑃𝑄}$ è ortogonale a $𝒏$.

Ricaviamo l’equazione cartesiana di $𝜋$.

1. Prendiamo $𝑃=\left({𝑥}_{𝑃},{𝑦}_{𝑃},{𝑧}_{𝑃}\right)$, $𝒏=\left({𝑛}_1,{𝑛}_2,{𝑛}_3\right)$.
2. $\overrightarrow{𝑃𝑄}=\left(𝑥-{𝑥}_{𝑃},𝑦-{𝑦}_{𝑃},𝑧-{𝑧}_{𝑃}\right)$
3. $\overrightarrow{𝑃𝑄}\cdot 𝒏={𝑛}_1\left(𝑥-{𝑥}_{𝑃}\right)+{𝑛}_2\left(𝑦-{𝑦}_{𝑃}\right)+{𝑛}_3\left(𝑧-{𝑧}_{𝑃}\right)=0$

L’equazione cartesiana di $𝜋$ è ${𝑛}_1𝑥+{𝑛}_2𝑦+{𝑛}_3𝑧+𝑑=0$ con $𝑑=-\left({𝑛}_1{𝑥}_{𝑃}+{𝑛}_2{𝑦}_{𝑃}+{𝑛}_3{𝑧}_{𝑃}\right)$.

Equazione parametrica

Dati 3 punti non allineati $𝐴$, $𝐵$, $𝐶$ e il piano $𝜋$ che li contiene, siano $𝒗=\overrightarrow{𝐴𝐵}$ e $𝒘=\overrightarrow{𝐴𝐶}$. Un punto $𝑄$ appartiene a $𝜋$ se e solo se $\overrightarrow{𝐴𝑄}$ può risultare dalla combinazione lineare:

$$\overrightarrow{𝐴𝑄}=𝑡𝒗+𝑠𝒘$$

Si tratta quindi della somma di 2 vettori, uno con direzione uguale a $𝒗$ e uno con direzione uguale a $𝒘$, moltiplicati per 2 scalari $𝑡$ e $𝑠$ detti parametri.

L’equazione parametrica di $𝜋$ è:

$$\{\begin{array}{c}𝑥={𝑥}_{𝐴}+𝑡{𝑣}_1+𝑠{𝑤}_1\\ 𝑦={𝑦}_{𝐴}+𝑡{𝑣}_2+𝑠{𝑤}_2\\ 𝑧={𝑧}_{𝐴}+𝑡{𝑣}_3+𝑠{𝑤}_3\end{array}$$

Risolvendo il sistema ed eliminando i parametri $𝑡$ e $𝑠$, si ottiene un’equazione cartesiana di $𝜋$.

Equazioni di rette nello spazio

Equazione parametrica

Data una retta $𝑟$ determinata da 2 punti distinti $𝐴$ e $𝐵$ e il suo vettore direzionale $𝒗=\overrightarrow{𝐴𝐵}$, un punto $𝑄$ appartiene a $𝑟$ se e solo se il vettore $\overrightarrow{𝐴𝑄}$ ha la stessa direzione di $𝒗$ (quindi $\overrightarrow{𝐴𝑄}=𝑡𝒗$, dove $𝑡$ è un parametro).

L’equazione parametrica di $𝑟$ è:

$$\{\begin{array}{c}𝑥={𝑥}_{𝐴}+𝑡{𝑣}_1\\ 𝑦={𝑦}_{𝐴}+𝑡{𝑣}_2\\ 𝑧={𝑧}_{𝐴}+𝑡{𝑣}_3\end{array}$$

Eliminando il parametro $𝑡$ si ottengono 2 equazioni cartesiane: la retta è l’intersezione di 2 piani.

Fasci di piani

Data una retta $𝑟$ con equazioni cartesiane:

$$\{\begin{array}{c}{𝑎}_1𝑥+{𝑏}_1𝑦+{𝑐}_1𝑧+{𝑑}_1=0\\ {𝑎}_2𝑥+{𝑏}_2𝑦+{𝑐}_2𝑧+{𝑑}_2=0\end{array}$$

Esiste un numero infinito di piani che contengono $𝑟$. Questo insieme è detto fascio di piani di sostegno $𝑟$ ed è definito come:

$$𝜆\left({𝑎}_1𝑥+{𝑏}_1𝑦+{𝑐}_1𝑧+{𝑑}_1\right)+𝜇\left({𝑎}_2𝑥+{𝑏}_2𝑦+{𝑐}_2𝑧+{𝑑}_2\right)=0$$

Per ogni coppia di scalari $\left(𝜆,𝜇\right)\ne \left(0,0\right)$ otteniamo l’equazione cartesiana di un piano contenente la retta $𝑟$.