Analisi dei sistemi in frequenza e banda passante

Larghezza di banda di un segnale

La larghezza di banda di un segnale è l’intervallo di frequenze per cui il suo spettro assume valori non nulli.

In teoria la larghezza di banda può essere infinita (per i segnali a durata finita). Tuttavia nella realtà possiamo approssimarla prendendo l’intervallo in cui si concentra la parte energeticamente più rilevante del segnale.

Per esempio possiamo prendere l’intervallo $[- 𝐵, 𝐵]$ entro il quale è incluso il 90% dell’energia:

𝐵 | \int_{- 𝐵}^{𝐵} {| 𝑋 (𝑓) |}^{2} d 𝑓 = 0.9 𝐸_{𝑥}

Analisi di sistemi in frequenza

Abbiamo visto che la risposta di un sistema LTI si può scrivere come la convoluzione tra il segnale e la risposta all’impulso.

La convoluzione è un integrale che talvolta è difficile da risolvere. Nel dominio delle frequenze, invece, la convoluzione diventa una semplice moltiplicazione.

Dato un sistema con ingresso $𝑥 (𝑡)$ , uscita $𝑦 (𝑡)$ e risposta all’impulso $ℎ (𝑡)$ :

𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) * ℎ (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑌 (𝑓) = 𝑋 (𝑓) 𝐻 (𝑓)

$𝐻 (𝑓)$ si può esprimere come il rapporto tra l’uscita e l’ingresso. Tale funzione è detta risposta in frequenza del sistema.

Da $𝐻 (𝑓)$ possiamo ricavare tre funzioni:

Risposta in ampiezza $| 𝐻 (𝑓) |$ : dice come viene modificata in ampiezza ogni componente del segnale.
Risposta in fase $Φ (𝑓) = arg (𝐻 (𝑓))$ : dice quanto viene sfasata ogni componente del segnale.
Ritardo di gruppo $𝜏 (𝑓) = - \frac{1}{2 𝜋} \frac{d Φ (𝑓)}{d 𝑓}$ : dice quanto viene ritardata nel tempo ogni componente del segnale (fornisce la stessa informazione della risposta in fase).

Composizione di sistemi

Analizzeremo ora qual è il comportamento di un ‘blocco’ di sistemi composto dai componenti di trasformazione che abbiamo visto finora.

Sistemi in serie:
```
X(f)───H_1(f)───H_2(f)───Y(f)
```
La risposta in frequenza è $𝐻_{tot} (𝑓) = 𝐻_{1} (𝑓) 𝐻_{2} (𝑓)$ .

Sistemi in parallelo:

      ┌─H_1(f)─┐
X(f)──┤        ├──Y(f)
      └─H_2(f)─┘

La risposta in frequenza è $𝐻_{tot} (𝑓) = 𝐻_{1} (𝑓) + 𝐻_{2} (𝑓)$ .

Retroazione negativa:
Si collega l’uscita di $𝐻_{1} (𝑓)$ ad $𝐻_{2} (𝑓)$ , e si sottrae l’uscita di $𝐻_{2} (𝑓)$ all’ingresso del sistema.
Per quella positiva si creerebbe un loop di feedback positivo che continuerebbe ad aumentare l’energia del sistema.
Esempio: quando un microfono è posto vicino all’altoparlante che amplifica il suo segnale.
```
X(f) ──(+)──► H_1(f) ──▶ Y(f)
        ▲                │
        │                │
        └──── H_2(f) ◀───┘
```
La risposta in frequenza è $𝐻_{tot} (𝑓) = \frac{𝐻_{1} (𝑓)}{1 + 𝐻_{1} (𝑓) 𝐻_{2} (𝑓)}$ .

Banda passante di un sistema

La larghezza di banda di un sistema, o banda passante, è la massima frequenza che il sistema lascia passare.

Anche in questo caso si definisce una banda massima in termini di energia ‘non trascurabile’, ma dato che il sistema non ha una propria energia, bisogna definire una nuova misura: il guadagno in funzione della frequenza.

𝐺 (𝑓) = {| 𝐻 (𝑓) |}^{2}

Per convenzione, la banda passante è la frequenza oltre la quale il guadagno del sistema scende di 3 dB rispetto al picco. A questa frequenza il sistema dimezza la potenza (in watt) delle componenti frequenziali del segnale in ingresso.