Convoluzioni notevoli e serie di Fourier

Convoluzioni notevoli

Convoluzione con impulso

La convoluzione di un segnale qualsiasi con un impulso restituisce il segnale stesso.
Se invece si esegue la convoluzione con un impulso traslato, la risposta è il segnale traslato.

Convoluzione di 2 rettangoli simmetrici di pari durata

Consideriamo 2 rettangoli di uguale durata e simmetria pari:

$𝑥_{1} (𝑡) = 𝐴_{1} rect (\frac{𝑡}{𝑇})$
$𝑥_{2} (𝑡) = 𝐴_{2} rect (\frac{𝑡}{𝑇})$

La convoluzione sarà:

𝑦 (𝑡) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝜏) 𝑥_{2} (𝑡 - 𝜏) d 𝜏

Possiamo dividere il calcolo dell’integrale di convoluzione in intervalli. Per $| 𝑡 | > 𝑇$ i rettangoli non si incontrano, quindi $𝑦 (𝑡) = 0$ ; resta da calcolare l’intervallo $| 𝑡 | < 𝑇$ .

In $- 𝑇 < 𝑡 < 0$ :
$𝑦 (𝑡) = \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{𝑡 + \frac{𝑇}{2}} 𝐴_{1} 𝐴_{2} d 𝜏 = 𝐴_{1} 𝐴_{2} (𝑇 + 𝑡)$
In $0 < 𝑡 < 𝑇$ :
$𝑦 (𝑡) = \int_{𝑡 - \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝐴_{1} 𝐴_{2} d 𝜏 = 𝐴_{1} 𝐴_{2} (𝑇 - 𝑡)$

Combinando i pezzi della funzione otteniamo un triangolo isoscele centrato nell’origine e di durata $2 𝑇$ .

Convoluzione di 2 rettangoli simmetrici di diversa durata

Fissiamo le idee supponendo $𝑇_{2} > 𝑇_{1}$ (nel caso opposto i ruoli si invertono) e consideriamo 2 ulteriori punti notevoli:

per $𝑡 < - \frac{𝑇_{1} + 𝑇_{2}}{2}$ e $𝑡 > \frac{𝑇_{1} + 𝑇_{2}}{2}$ i rettangoli non si incontrano;
in $- \frac{𝑇_{1} + 𝑇_{2}}{2} < 𝑡 < \frac{𝑇_{1} - 𝑇_{2}}{2}$ avremo una rampa crescente;
in $\frac{𝑇_{1} - 𝑇_{2}}{2} < 𝑡 < \frac{𝑇_{2} - 𝑇_{1}}{2}$ avremo una fase piatta con valore $𝐴_{1} 𝐴_{2} 𝑇_{1}$ ;
in $\frac{𝑇_{2} - 𝑇_{1}}{2} < 𝑡 < \frac{𝑇_{1} + 𝑇_{2}}{2}$ avremo una rampa decrescente;

Otteniamo così un trapezio isoscele.

Convoluzione di gaussiane

Prese 2 gaussiane con diverse medie e varianze:

$𝑥_{1} (𝑡) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋 𝜎_{1}^{2}}} 𝑒^{- \frac{{(𝑡 - 𝜇_{1})}^{2}}{2 𝜎_{1}^{2}}}$
$𝑥_{2} (𝑡) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋 𝜎_{2}^{2}}} 𝑒^{- \frac{{(𝑡 - 𝜇_{2})}^{2}}{2 𝜎_{2}^{2}}}$

Si dimostra che si ottiene un’altra gaussiana:

𝑦 (𝑡) = 𝑥_{1} (𝑡) * 𝑥_{2} (𝑡) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋 (𝜎_{1}^{2} + 𝜎_{2}^{2})}} 𝑒^{- \frac{{(𝑡 - (𝜇_{1} + 𝜇_{2}))}^{2}}{2 (𝜎_{1}^{2} + 𝜎_{2}^{2})}}

Sistemi non LTI

Se un sistema non è lineare tempo-invariante, possiamo ottenere la risposta all’impulso e l’integrale di convoluzione, ma non è garantito che coincidano con la risposta del sistema.

In questo caso possiamo modellare il comportamento del sistema tramite la relazione ingresso-uscita. Essa determina l’uscita di un sistema per un dato ingresso in un certo istante.

La relazione ingresso-uscita dà informazioni utili solo nel caso di sistemi senza memoria. In quelli con memoria l’uscita dipende anche dai valori ricevuti in precedenza.

Rappresentazione dei segnali in frequenza

In fisica il concetto di frequenza è associato a fenomeni periodici. Nei segnali il concetto viene allargato anche al contenuto frequenziale di un segnale non periodico.

Come quantificare la frequenza? Il problema l’ha risolto Jean-Baptiste Joseph Fourier.

Serie di Fourier

Con la serie di Fourier si può rappresentare la frequenza di qualsiasi segnale come una serie infinita di sinusoidali (delle quali conosciamo già tutte le proprietà matematiche).

Un generico segnale periodico di periodo $𝑇_{0}$ può essere rappresentato mediante la seguente serie (serie di Fourier):

𝑥 (𝑡) = 𝑎_{0} + \sum_{𝑘 = 1}^{+ \infty} 𝑎_{𝑘} cos (2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡 + 𝜃_{𝑘})

Le oscillazioni della serie hanno frequenza multipla di $𝑓_{0} = \frac{1}{𝑇_{0}}$ , detta frequenza fondamentale.
Il termine $𝑘$ -esimo della serie è detto armonica di ordine $𝑘$ ed è caratterizzato da 3 valori:
- $𝑘 𝑓_{0}$ : frequenza dell’armonica;
- $𝑎_{𝑘}$ : ampiezza dell’armonica;
- $𝜃_{𝑘}$ : sfasamento dell’armonica;
Il termine $𝑎_{0}$ (a frequenza nulla) è detto componente continua.

Esempio: costruzione di un’onda quadra con serie di Fourier