Analisi circuito RLC con trasformata di Laplace

Considerato un circuito RLC in cui $𝑉_{in (𝑡)}$ è un ingresso causale, ci interessano determinare la differenza di potenziale ai capi di $𝑅$ :

┌───L───C───┐
│+          │
V_in        R
│-          │
└───────────┘

Possiamo dire che esistono ${\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)} = ℒ︀ {𝑉_{in (𝑡)}}$ e $\tilde{𝐼} (𝑠) = ℒ︀ {𝐼 (𝑡)}$ .

Scriviamo il sistema senza conoscere ancora le condizioni iniziali:

{\begin{cases} 𝑉_{in (𝑡)} = 𝑉_{𝐿 (𝑡)} + 𝑉_{𝐶 (𝑡)} + 𝑉_{𝑅 (𝑡)} \\ 𝐼 (𝑡) = 𝐼_{𝐿 (𝑡)} = 𝐼_{𝐶 (𝑡)} = 𝐼_{𝑅 (𝑡)} \\ 𝑉_{𝐿 (𝑡)} = 𝐿 \frac{d 𝐼_{𝐿 (𝑡)}}{d 𝑡} \\ 𝑉_{𝑅 (𝑡)} = 𝐼_{𝑅 (𝑡)} 𝑅 \\ 𝑉_{𝐶 (𝑡)} = \frac{1}{𝐶} \int_{0}^{𝑡} 𝐼_{𝐶 (𝑡)} d 𝑡 + 𝑉_{𝐶 (0)} \\ 𝐼_{𝐿 (0)} = ? \\ 𝑉_{𝐶 (0)} = ? \end{cases}

{\begin{cases} 𝑉_{in (𝑡)} = 𝐿 \frac{d 𝐼 (𝑡)}{d 𝑡} + 𝐼 (𝑡) 𝑅 + \frac{1}{𝐶} \int_{0}^{𝑡} 𝐼 (𝑡^{'}) d 𝑡^{'} + 𝑉_{𝐶 (0)} \\ 𝐼_{𝐿 (0)} = ? \\ 𝑉_{𝐶 (0)} = ? \end{cases}

{\begin{cases} {\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)} = 𝐿 𝑠 \tilde{𝐼} (𝑠) - 𝐿 𝐼 (0) + \tilde{𝐼} (𝑠) 𝑠 𝑅 + \frac{1}{𝐶 𝑠} \tilde{𝐼} (𝑠) + \frac{𝑉_{𝐶 (0)}}{𝑠} \\ \Leftrightarrow {\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)} = \tilde{𝐼} (𝑠) (𝐿 𝑠 + 𝑅 + \frac{1}{𝐶 𝑠}) - 𝐿 𝐼 (0) + \frac{𝑉_{𝐶 (0)}}{𝑠} \\ \Leftrightarrow 𝑠 {\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)} = \tilde{𝐼} (𝑠) (𝐿 𝑠^{2} + 𝑅 𝑠 + \frac{1}{𝐶}) - 𝐿 𝑠 𝐼 (0) + 𝑉_{𝐶 (0)} \\ \Leftrightarrow \tilde{𝐼} (𝑠) = \frac{𝑠 {\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)} + 𝐿 𝑠 𝐼 (0) - 𝑉_{𝐶 (0)}}{𝐿 𝑠^{2} + 𝑅 𝑠 + \frac{1}{𝐶}} \\ \Leftrightarrow {\tilde{𝑉}}_{𝑅 (𝑠)} = \frac{𝑅 𝑠 {\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)} + 𝑅 𝐿 𝑠 𝐼 (0) - 𝑅 𝑉_{𝐶 (0)}}{𝐿 𝑠^{2} + 𝑅 𝑠 + \frac{1}{𝐶}} \\ \Leftrightarrow {\tilde{𝑉}}_{𝑅 (𝑠)} = \frac{𝑅 𝑠 {\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)}}{𝐿 𝑠^{2} + 𝑅 𝑠 + \frac{1}{𝐶}} + \frac{𝑅 𝐿 𝑠 𝐼 (0) - 𝑅 𝑉_{𝐶 (0)}}{𝐿 𝑠^{2} + 𝑅 𝑠 + \frac{1}{𝐶}} \\ 𝐼_{𝐿 (0)} = ? \\ 𝑉_{𝐶 (0)} = ? \end{cases}

Nell’ultima espressione ottenuta, il primo termine della somma (quello che contiene ${\tilde{𝑉}}_{in (𝑠)}$ ) è la risposta a stato nullo del sistema. Il secondo termine invece è la risposta a ingresso nullo.

Ora fissiamo alcuni dati:

$𝑉_{in (𝑡)} = 2 sin (2 𝑡) 𝜃 (𝑡) [V]$
$𝐼 (0) = 0 [A]$
$𝑉_{𝐶 (0)} = 2 [V]$
$𝐿 = \frac{1}{2} [H]$
$𝐶 = \frac{1}{3} [F]$
$𝑅 = \frac{5}{2} [Ω]$

La trasformata del seno è:

sin (𝑑 𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow} \frac{𝑑}{𝑠^{2} + 𝑑^{2}}

Quindi nel nostro caso avremo $\frac{4}{𝑠^{2} + 4}$ . Ora sostituiamo le variabili con le costanti date:

\begin{aligned} {\tilde{𝑉}}_{𝑅 (𝑠)} & = \frac{4}{𝑠^{2} + 4} \frac{𝑠 (\frac{5}{2})}{\frac{𝑠^{2}}{2} + \frac{5 𝑠}{2} + 3} - \frac{5}{\frac{𝑠^{2}}{2} + \frac{5 𝑠}{2} + 3} \\ = \frac{4}{𝑠^{2} + 4} \frac{5 𝑠}{𝑠^{2} + 5 𝑠 + 6} - \frac{10}{𝑠^{2} + 5 𝑠 + 6} \\ = \frac{4}{𝑠^{2} + 4} \frac{5 𝑠}{(𝑠 + 2) (𝑠 + 3)} - \frac{10}{(𝑠 + 2) (𝑠 + 3)} \\ = \frac{4}{(𝑠 + 2 𝑗) (𝑠 - 2 𝑗)} \frac{5 𝑠}{(𝑠 + 2) (𝑠 + 3)} - \frac{10}{(𝑠 + 2) (𝑠 + 3)} \end{aligned}

Il problema sta nella risposta a stato nullo, che contiene degli zeri complessi:

\frac{20 𝑠}{(𝑠 + 2 𝑗) (𝑠 - 2 𝑗) (𝑠 + 2) (𝑠 + 3)}

La regola che dovremo usare è:

2 | 𝐴 | 𝑒^{- 𝑎 𝑡} cos (𝑏 𝑡 + 𝜑_{𝐴}) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow} \frac{𝐴}{𝑠 + 𝑎 - 𝑗 𝑏} + \frac{\overset{̅}{𝐴}}{𝑠 + 𝑎 + 𝑗 𝑏}

Quindi possiamo riscrivere l’espressione sopra come:

\frac{𝐴}{𝑠 + 2 𝑗} + \frac{\overset{̅}{𝐴}}{𝑠 - 2 𝑗} + \frac{𝐵}{𝑠 + 2} + \frac{𝐶}{𝑠 + 3}

Per trovare $𝐴$ dobbiamo fare il limite:

lim_{𝑠 \to 2 𝑗} (𝑠 - 2 𝑗) \frac{20 𝑠}{(𝑠 + 2 𝑗) (𝑠 - 2 𝑗) (𝑠 + 2) (𝑠 + 3)} = \frac{40 𝑗}{4 𝑗 (2 𝑗 + 2) (2 𝑗 + 3)} = \frac{10}{2 + 10 𝑗} = \frac{5}{1 + 5 𝑗} = \frac{5 - 25 𝑗}{26}

Otteniamo quindi:

2 \frac{5}{\sqrt{26}} cos (2 𝑡 + 𝜑_{𝐴})

dove la fase è $𝜑_{𝐴} = arctan (\frac{ℑ (𝐴)}{ℜ (𝐴)})$ .

2 \frac{5}{\sqrt{26}} cos (2 𝑡 - 1.37)

Per trovare $𝐵$ e $𝐶$ calcolo i rispettivi limiti, come visto in precedenza, e ottengo i valori $- 5$ e $\frac{60}{13}$ .

L’anti-trasformata della risposta a stato nullo è:

𝑉_{𝑅}^{stato nullo (𝑡)} = \frac{10}{\sqrt{26}} cos (2 𝑡 - 1.37) - 5 𝑒^{- 2 𝑡} + \frac{60}{13} 𝑒^{- 3 𝑡}

La risposta a ingresso nullo si calcola con il metodo visto in precedenza:

𝑉_{𝑅}^{ingresso nullo (𝑡)} = 10 𝑒^{- 3 𝑡} - 10 𝑒^{- 2 𝑡}

Risposta all’impulso con Laplace

La funzione di trasferimento $𝐻 (𝑠)$ di un circuito corrisponde alla trasformata della risposta all’impulso. Quindi anti-trasformando si ottiene $ℎ (𝑡)$ .