Teoria degli integrali tripli e cambio variabili

Integrali tripli

Integrale triplo su un parallelepipedo

Sia $𝑄 = [𝑎_{1}, 𝑏_{1}] \times [𝑎_{2}, 𝑏_{2}] \times [𝑎_{3}, 𝑏_{3}] \subset ℝ^{3}$ un parallelepipedo.

Per ciascun lato prendiamo una suddivisione:

$𝐷_{1} = {𝑎_{1} = 𝑥_{0} < \dots < 𝑥_{𝑖} < \dots < 𝑥_{𝑛_{1}} = 𝑏_{1}}$
$𝐷_{2} = {𝑎_{2} = 𝑦_{0} < \dots < 𝑦_{𝑖} < \dots < 𝑦_{𝑛_{2}} = 𝑏_{2}}$
$𝐷_{3} = {𝑎_{3} = 𝑧_{0} < \dots < 𝑧_{𝑖} < \dots < 𝑧_{𝑛_{3}} = 𝑏_{3}}$

Si chiama suddivisione del parallelepipedo $𝑄$ una suddivisione $𝐷 = 𝐷_{1} \times 𝐷_{2} \times 𝐷_{3}$ . Quindi $𝑄$ risulta diviso in $𝑛_{1} 𝑛_{2} 𝑛_{3}$ parallelepipedi.

${| 𝑄_{𝑖, 𝑗, 𝑘} |}_{3}$ indica il volume del sotto-parallelepipedo $𝑄_{𝑖, 𝑗, 𝑘}$ .

Definiamo:

$𝑆 (𝑓, 𝐷) = \sum_{𝑖, 𝑗, 𝑘} 𝑀_{𝑖, 𝑗, 𝑘} {| 𝑄_{𝑖, 𝑗, 𝑘} |}_{3}$ è la somma superiore di $𝑓$ su $𝑄$ .
$𝑠 (𝑓, 𝐷) = \sum_{𝑖, 𝑗, 𝑘} 𝑚_{𝑖, 𝑗, 𝑘} {| 𝑄_{𝑖, 𝑗, 𝑘} |}_{3}$ è la somma inferiore di $𝑓$ su $𝑄$ .

Si dice che $𝑓$ è integrabile secondo Riemann su $𝑄$ e si scrive $𝑓 \in 𝑅 (𝑄)$ se:

𝐿 = sup_{𝐷} 𝑠 (𝑓, 𝐷) = inf_{𝐷} 𝑆 (𝑓, 𝐷)

Il valore $𝐿$ prende il nome di integrale triplo di $𝑓$ su $𝑄$ e si denota con:

∭_{𝑄} 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑥 d 𝑦 d 𝑧

Integrale triplo su insiemi generali

Si applica la stessa definizione usata per gli integrali doppi. Si consideri un parallelepipedo $𝑄$ che racchiude l’insieme e una funzione $\tilde{𝑓}$ che vale come $𝑓$ all’interno dell’insieme e $0$ fuori.

Insiemi misurabili

Come per $ℝ^{2}$ , $𝐴 \subseteq ℝ^{3}$ è misurabile se:

$𝜕 𝐴$ è misurabile;
${| 𝜕 𝐴 |}_{3} = 0$

Cambio di variabile per integrali tripli

Siano $𝐴, 𝐴^{'} \subseteq ℝ^{3}$ insiemi aperti, limitati e misurabili. Sia $𝜓 : 𝐴^{'} \to 𝐴$ un cambiamento di variabili e sia $𝑓 \in 𝐶^{0} (𝐴)$ e limitata. Allora:

∭_{𝐴} 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑥 d 𝑦 d 𝑧 = ∭_{𝐴^{'}} 𝑓 (𝜓 (𝑢, 𝑣, 𝑤)) | det (𝐷_{𝜓 (𝑢, 𝑣, 𝑤)}) | d 𝑢 d 𝑣 d 𝑤