Risposta di circuiti RC a gradino e impulso

Interruttori dal punto di vista matematico

┌──/ ──┐
│+     │
V_s    R_1
│-     │
└──────┘

Se chiudo l’interruttore all’istante ${𝑡}_0$, il circuito avrà questo comportamento:

$${𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)=\{\begin{array}{cc}0& 𝑡<{𝑡}_0\\ {𝑉}_{𝑠}& 𝑡\ge {𝑡}_0\end{array}$$

Se tracciamo il grafico sul piano cartesiano, otteniamo la forma di una funzione gradino $𝜃\left(𝑡-{𝑡}_0\right)$.

Di conseguenza, ${𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)={𝑉}_{𝑠}𝜃\left(𝑡-{𝑡}_0\right)$.

Circuito RC in parallelo con gradino

Prendiamo un generatore di corrente ${𝐼}_{𝑠}$ che, a circuito chiuso, eroga una corrente costante ${𝐼}_0$.

L’interruttore viene chiuso all’istante ${𝑡}_0$.

┌─/ ─┬────┐
I_s  R_1  C_1
└────┴────┘

Costruiamo il sistema:

$$\{\begin{array}{c}{𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)={𝑉}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)=𝑉\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{𝑠\left(𝑡\right)}={𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)+{𝐼}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)\\ {𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)={𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right){𝑅}_1\\ {𝐼}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)={𝐶}_1\frac{d{𝑉}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝐼}_{𝑠\left(𝑡\right)}={𝐼}_0𝜃\left(𝑡-{𝑡}_0\right)\\ 𝑉\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$

Otteniamo ancora una volta un problema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{c}{𝐼}_{𝑠\left(𝑡\right)}=\frac{𝑉\left(𝑡\right)}{{𝑅}_1}+{𝐶}_1\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝐼}_{𝑠\left(𝑡\right)}={𝐼}_0𝜃\left(𝑡-{𝑡}_0\right)\\ 𝑉\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$

Ora possiamo studiare due casi:

• A circuito aperto e scarico non succede niente.

$$\{\begin{array}{c}𝑡<{𝑡}_0\\ \frac{𝑉\left(𝑡\right)}{{𝑅}_1}+{𝐶}_1\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{d𝑡}=0\\ 𝑉\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$

• Quando l’interruttore viene chiuso, otteniamo un’equazione differenziale a variabili separabili.

$$\{\begin{array}{c}𝑡\ge {𝑡}_0\\ \frac{𝑉\left(𝑡\right)}{{𝑅}_1}+{𝐶}_1\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{d𝑡}={𝐼}_0\\ 𝑉\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$$$\{\begin{array}{c}𝑡\ge {𝑡}_0\\ {\int }_{𝑉\left({𝑡}_0\right)}^{𝑉\left(𝑡\right)}\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{𝑉\left(𝑡\right)-{𝐼}_0{𝑅}_1}=-{\int }_{{𝑡}_0}^{𝑡}\frac{d𝑡}{𝜏}\iff {\left[ln\left(𝑉\left(𝑡\right)-{𝐼}_0{𝑅}_1\right)\right]}_{𝑉\left({𝑡}_0\right)}^{𝑉\left(𝑡\right)}=-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}\\ 𝜏={𝑅}_1{𝐶}_1\\ 𝑉\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$$$ln\left(𝑉\left(𝑡\right)-{𝐼}_0{𝑅}_1\right)-ln\left({𝐼}_0{𝑅}_1\right)=-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}\iff 𝑉\left(𝑡\right)={𝐼}_0{𝑅}_1\left(1-{𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}}\right)$$

Otteniamo così la funzione completa, che tiene conto del gradino:

$$𝑉\left(𝑡\right)={𝐼}_0𝜃\left(𝑡-{𝑡}_0\right){𝑅}_1\left(1-{𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}}\right)$$

Risposta di un circuito ad un gradino

Presa una funzione gradino, avremo sempre una risposta specifica per un circuito, che chiameremo $𝑔\left(𝑡\right)$. Nel caso trattato sopra, l’ingresso è ${𝐼}_0𝜃\left(𝑡-{𝑡}_0\right)$ e la risposta sarà ${𝐼}_0𝑔\left(𝑡-{𝑡}_0\right)$.

Chiameremo ${𝑍}_0$ la risposta in condizioni di stato zero di un generico circuito a un generico ingresso. Riprendendo la definizione precedente, $𝑔\left(𝑡\right)={𝑍}_0\left[𝜃\left(𝑡\right)\right]$.

Operatore traslazione

Introduciamo un operatore lineare che trasla una funzione di un certo $\mathrm{\Delta }𝑡$:

$${\mathrm{𝒯︀}}_{\mathrm{\Delta }𝑡}\left[𝑓\left(𝑡\right)\right]=𝑓\left(𝑡-\mathrm{\Delta }𝑡\right)$$

Poiché entrambi gli operatori sono lineari, non c’è differenza nell’ordine di composizione tra ${𝑍}_0$ e $\mathrm{𝒯︀}$.

Risposta di un circuito ad un impulso

Possiamo descrivere il grafico di un impulso come un rettangolo di base $𝑑$ e altezza $\frac{1}{𝑑}$:

$$\{\begin{array}{cc}0& 𝑡<0\\ \frac{1}{𝑑}& 0\le 𝑡\le 𝑑\\ 0& 𝑡>𝑑\end{array}$$

Otteniamo la delta di Dirac $𝛿\left(𝑡\right)$ quando $𝑑$ tende a zero. Più in generale, data una funzione di test $𝑓$, la delta di Dirac è definita dalla proprietà:

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }𝛿\left(𝑡\right)𝑓\left(𝑡\right)d𝑡=𝑓\left(0\right)\Rightarrow {\int }_{-\infty }^{+\infty }𝛿\left(𝑡\right)d𝑡=1$$

Circuito RC in parallelo con impulso

Riprendiamo l’esempio del circuito visto in precedenza. Questa volta l’interruttore rimarrà chiuso per un intervallo di tempo $𝑑={𝑡}_1-{𝑡}_0$. La corrente del generatore avrà valore $\frac{1}{{𝑡}_1-{𝑡}_0}$.

Si distinguono tre fasi:

• Per $𝑡<{𝑡}_0$ il sistema resta invariato (circuito aperto e scarico).

• Per ${𝑡}_0\le 𝑡\le {𝑡}_1$ otteniamo:

$$𝑉\left(𝑡\right)=\frac{{𝑅}_1}{𝑑}\left(1-{𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}}\right)$$

• Per $𝑡>{𝑡}_1$, la risposta è data dalla scarica del circuito a partire dal valore di tensione raggiunto durante l’impulso:

$$\{\begin{array}{c}{𝐶}_1\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{d𝑡}+\frac{𝑉\left(𝑡\right)}{{𝑅}_1}=0\\ 𝑉\left({𝑡}_1\right)=\frac{{𝑅}_1}{𝑑}\left(1-{𝑒}^{-\frac{𝑑}{𝜏}}\right)\end{array}\Rightarrow 𝑉\left(𝑡\right)=𝑉\left({𝑡}_1\right){𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_1}{𝜏}}$$

Per studiare la risposta alla delta di Dirac, dobbiamo far tendere $𝑑$ a zero:

$$\begin{array}{cc}𝑉\left(𝑡\right)& =\underset{𝑑\to 0}{lim}𝑉\left({𝑡}_1\right){𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_1}{𝜏}}\\ & =\underset{𝑑\to 0}{lim}\frac{{𝑅}_1}{𝑑}\left(1-{𝑒}^{-\frac{𝑑}{𝜏}}\right){𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_0-𝑑}{𝜏}}\\ & ={𝑅}_1{𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}}\underset{𝑑\to 0}{lim}\frac{1-{𝑒}^{-\frac{𝑑}{𝜏}}}{𝑑}\\ & ={𝑅}_1{𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}}\frac{1}{𝜏}\\ & =\frac{1}{{𝐶}_1}{𝑒}^{-\frac{𝑡-{𝑡}_0}{𝜏}}\end{array}$$