Campionamento, aliasing e teorema di Nyquist

Segnali digitali

I computer al giorno d’oggi trattano bit, non segnali continui. I vantaggi di un segnale digitale sono l’efficienza e la robustezza della trasmissione e dell’archiviazione.

Un segnale digitale rimane invariato anche se viene applicata una certa quantità di rumore; basta definire una soglia adeguata tra i vari valori.

Conversione analogico-digitale

I segnali digitali sono discreti sia nel dominio che nell’ampiezza, quindi per convertire segnali analogici bisogna operare tre trasformazioni:

• campionamento: discretizzazione del dominio;
• quantizzazione: discretizzazione dell’ampiezza;
• codifica: rappresentazione dei campioni quantizzati (di solito è binaria);

Campionamento

Campionare un segnale significa estrarre i valori che esso assume in istanti temporali equispaziati, multipli di un intervallo di tempo ${𝑇}_{𝑐}$ chiamato periodo di campionamento.

Matematicamente un campione si può modellare come la funzione continua $𝑥\left(𝑡\right)$ moltiplicata per l’impulso traslato:

$$𝑥\left(𝑡\right)𝛿\left(𝑡-𝑛{𝑇}_{𝑐}\right)=𝑥\left(𝑛{𝑇}_{𝑐}\right)𝛿\left(𝑡-𝑛{𝑇}_{𝑐}\right)$$

A questo punto basta ripetere l’operazione attraverso un treno di impulsi:

$${𝑥}_{𝑐\left(𝑡\right)}=𝑥\left(𝑡\right)\sum _{𝑛=-\infty }^{+\infty }𝛿\left(𝑡-𝑛{𝑇}_{𝑐}\right)$$

Aliasing e periodo di campionamento

Dobbiamo ora capire come fissare un ${𝑇}_{𝑐}$ opportuno. Apparentemente, l’operazione sembra distruttiva, infatti si perdono le informazioni sull’andamento del segnale tra due impulsi successivi.

Quindi, intuitivamente si dovrebbe far tendere ${𝑇}_{𝑐}$ a $0$, ma è impossibile prendere un numero infinito di campioni.

Dimostriamo che non è vero: consideriamo un segnale $𝑥\left(𝑡\right)$ limitato in banda, cioè con spettro nullo oltre la frequenza ${𝑓}_{\text{max}}$ (un segnale a durata infinita può avere un’estensione spettrale finita). Se trasformiamo (con Fourier) il segnale campionato, otterremo un segnale con lo spettro di $𝑥\left(𝑡\right)$ moltiplicato per $\frac{1}{{𝑇}_{𝑐}}$ e ripetuto con periodicità $\frac{1}{{𝑇}_{𝑐}}$ sull’asse delle frequenze.

Se isoliamo solo lo spettro della banda di base e lo moltiplichiamo per ${𝑇}_{𝑐}$, otteniamo esattamente lo spettro di $𝑥\left(𝑡\right)$. Quindi nessuna informazione sul segnale è stata persa.

L’unico caso in cui questo non vale è quello in cui il valore di ${𝑇}_{𝑐}$ è abbastanza alto (frequenza di campionamento troppo bassa) da permettere agli spettri di sovrapporsi. Per risolvere il problema è necessario aumentare la frequenza di campionamento.

Questo fenomeno viene chiamato aliasing e coinvolge tutto l’intervallo delle frequenze.

Teorema del campionamento

Teorema del campionamento (o condizione di Nyquist): per non avere aliasing, le repliche devono essere distanziate di almeno due volte ${𝑓}_{\text{max}}$ (${𝑓}_{𝑐}\ge 2{𝑓}_{\text{max}}$).

Avvicinandosi al limite ${𝑓}_{𝑐}=2{𝑓}_{\text{max}}$ si rischia comunque di cadere in casi in cui non è possibile ricostruire il segnale. Considerando il funzionamento di un filtro passa-basso reale che taglia le frequenze in modo graduale, si consiglia anche di aggiungere una costante, detta banda di guardia ($𝜀$), e quindi si ottiene:

$${𝑓}_{𝑐}\ge 2{𝑓}_{\text{max}}+𝜀$$

Campionamento di segnali non limitati in banda

Per applicare il criterio di Nyquist a segnali non limitati in banda (ad esempio quelli a durata limitata nel tempo) si prende solo la banda significativa del segnale (ad esempio quella corrispondente al 90% dell’energia).

Ricostruzione ideale del segnale campionato

Il filtro di ricostruzione sarà ${𝐻}_{\text{LPF}}\left(𝑓\right)={𝑇}_{𝑐}rect\left(\frac{𝑓}{{𝑓}_{𝑐}}\right)\iff {ℎ}_{\text{LPF}}\left(𝑡\right)=sinc\left(\frac{𝑡}{{𝑇}_{𝑐}}\right)$.

Quindi il segnale ricostruito sarà:

$$𝑥\left(𝑡\right)=\sum _{𝑛=-\infty }^{+\infty }𝑥\left(𝑛{𝑇}_{𝑐}\right)sinc\left(\frac{𝑡-𝑛{𝑇}_{𝑐}}{{𝑇}_{𝑐}}\right)$$

Il picco di una singola $sinc\left(𝑡\right)$ dà il valore del segnale nel punto di campionamento. Negli altri punti invece essa viene annullata dalle $sinc\left(𝑡\right)$ degli istanti precedente e successivo.

Campionamento reale

Campionare un segnale con impulsi è impossibile, perché essi sono fisicamente irrealizzabili. La soluzione che si adotta tipicamente è il Sample&Hold, ovvero si prende il segnale nell’istante di campionamento e lo si trattiene per un periodo di tempo pari a quello di campionamento.

Quindi si ottiene un rettangolo con ampiezza pari al valore del segnale all’inizio del periodo e durata pari a ${𝑇}_{𝑐}$.

Per modellare matematicamente questo processo si può immaginare una cascata tra un campionatore ideale e un filtro di trattenimento $𝐻$. Quindi il segnale campionato reale sarà:

$${𝑥}_{\text{SH}}\left(𝑡\right)={𝑥}_{𝑐}\left(𝑡\right)\ast {ℎ}_{𝐻}\left(𝑡\right)$$

dove ${ℎ}_{𝐻}\left(𝑡\right)$ è una funzione rettangolare. La ${𝐻}_{𝐻}\left(𝑓\right)$ sarà una $sinc\left(𝑓\right)$, quindi si introduce necessariamente una distorsione lineare che si può correggere con un altro filtro equalizzatore.