Serie di Fourier e trasformata nei circuiti

Analisi di un circuito in frequenza

Nel dominio del tempo, gli unici tipi di ingresso per cui possiamo risolvere un circuito RLC sono il gradino e l’impulso. La risposta sarà data dalla convoluzione tra l’ingresso e la risposta impulsiva: $𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) * ℎ (𝑡)$ .

Abbiamo poi introdotto il concetto di fasore, che permette di trovare la soluzione per ingressi di tipo sinusoidale. In questo caso si può caratterizzare il circuito con la funzione di trasferimento: $\tilde{𝑌} = \tilde{𝐻} (𝜔) \tilde{𝑋}$ .

Il primo passo che possiamo fare verso una generalizzazione è quello delle serie di Fourier, che ci permetteranno di analizzare la risposta di un circuito con un ingresso periodico qualsiasi.

Serie di Fourier

Consideriamo una funzione $𝑓 (𝑥)$ periodica di periodo $𝑇$ da $- \infty$ a $+ \infty$ .

La serie di Fourier di $𝑓$ è definita:

𝑓 (𝑥) = \frac{𝑎_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} 𝑎_{𝑛} cos (\frac{2 𝜋 𝑛 𝑥}{𝑇}) + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} 𝑏_{𝑛} sin (\frac{2 𝜋 𝑛 𝑥}{𝑇})

dove:

\begin{matrix} 𝑎_{𝑛} = \frac{2}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) cos (\frac{2 𝜋 𝑛 𝑥}{𝑇}) d 𝑥 \\ 𝑏_{𝑛} = \frac{2}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) sin (\frac{2 𝜋 𝑛 𝑥}{𝑇}) d 𝑥 \end{matrix}

D’ora in poi $𝜔 = \frac{2 𝜋}{𝑇}$ . La serie può essere riscritta usando le formule di Eulero:

\begin{aligned} 𝑓 (𝑥) & = \frac{𝑎_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} 𝑎_{𝑛} \frac{𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} + 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥}}{2} + 𝑏_{𝑛} \frac{𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} - 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥}}{2 𝑗} \\ = \frac{𝑎_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} 𝑎_{𝑛} \frac{𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} + 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥}}{2} + 𝑏_{𝑛} \frac{𝑗}{𝑗} \frac{𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} - 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥}}{2 𝑗} \\ = \frac{𝑎_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} 𝑎_{𝑛} \frac{𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} + 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥}}{2} - 𝑏_{𝑛} 𝑗 \frac{𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} - 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥}}{2} \\ = \frac{𝑎_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} \frac{𝑎_{𝑛} - 𝑗 𝑏_{𝑛}}{2} 𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} + \frac{𝑎_{𝑛} + 𝑗 𝑏_{𝑛}}{2} 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} \\ = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑐_{𝑛} 𝑒^{𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} \end{aligned}

dove:

\begin{aligned} 𝑐_{𝑛} & = \frac{𝑎_{𝑛} - 𝑗 𝑏_{𝑛}}{2} \\ = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) cos (𝑛 𝜔 𝑥) d 𝑥 - \frac{𝑗}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) sin (𝑛 𝜔 𝑥) d 𝑥 \\ = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) (cos (𝑛 𝜔 𝑥) - 𝑗 sin (𝑛 𝜔 𝑥)) d 𝑥 \\ = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) 𝑒^{- 𝑗 𝑛 𝜔 𝑥} d 𝑥 \end{aligned}

Trasformata

Una trasformata è una funzione che moltiplica l’originale per un certo kernel, restituendo una nuova funzione con un dominio diverso:

𝑔 (𝛼) = \int_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 (𝑥) 𝐾 (𝛼, 𝑥) d 𝑥

Il kernel per la trasformata di Fourier è $𝐾 (𝛼, 𝑥) = 𝑒^{- 𝑗 𝛼 𝑥}$ . Quindi diventa:

trasformata di Fourier:

\tilde{𝐹} (𝜔) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) 𝑒^{- 𝑗 𝜔 𝑡} d 𝑡

antitrasformata di Fourier:

𝑓 (𝑡) = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{𝐹} (𝜔) 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡} d 𝑡