Modulazione delta, DPCM e impulso di Kronecker

Dalla codificazione nasce un nuovo problema, ovvero ridurre il numero di bit emessi per rappresentare il segnale, senza diminuirne la qualità.

Esistono 2 tecniche che si basano sulla variazione differenziale del segnale e non sul suo valore assoluto:

Codificatore a modulazione delta

Con la modulazione delta, si codificano le variazioni (positive o negative) tra un campione e l’altro invece dei loro singoli valori.

Il passo $Δ$ è la quantità fissa da aggiungere o sottrarre al campione corrente rispetto al precedente. Quindi, dato che ci sono solo 2 possibili valori, si possono codificare come 0 e 1.

Svantaggi

Il primo tipo di errore si verifica quando ci sono variazioni brusche nel segnale, infatti il segnale codificato non può scendere o salire a una velocità maggiore di un $Δ$ per campione.

Il secondo, invece, si verifica nelle zone piatte, dato che il segnale deve continuare ad oscillare tra $\pm Δ$ .

Codificatore DPCM

Il valore del campione successivo si basa sulla codifica dell’errore commesso su una predizione (che deriva da 1 o più campioni precedenti).

Quindi, se l’errore di predizione sarà piccolo (succede quando il segnale predetto è molto correlato), serviranno pochi bit (codifica entropica).

Sistemi e filtri digitali

D’ora in poi non parleremo più di segnali continui nel tempo $𝑥 (𝑡)$ , ma useremo sequenze di campioni $𝑥 [𝑛] = 𝑥_{𝑞} (𝑛 𝑇_{𝑐})$ .

Proprietà di segnali digitali

simmetria:
- pari: $𝑥 (𝑡) = 𝑥 (- 𝑡) \Rightarrow 𝑥 [𝑛] = 𝑥 [- 𝑛]$ ;
- dispari: $𝑥 (𝑡) = - 𝑥 (- 𝑡) \Rightarrow 𝑥 [𝑛] = - 𝑥 [- 𝑛]$ ;
guadagno: $𝑎 𝑥 (𝑡) \Rightarrow 𝑎 𝑥 [𝑛]$ ;
ritardo: $𝑥 (𝑡 - Δ 𝑡) \Rightarrow 𝑥 [𝑛 - 𝑘]$ (segnale traslato di $𝑘$ campioni);
fattore di scala: corrisponde a ricampionamenti del segnale, ovvero la compressione riduce il numero di campioni (e può introdurre aliasing, evitabile applicando un filtro passa-basso (LPF) anti-aliasing prima di ridurre i campioni) e l’espansione fa aumentare il numero di campioni (per interpolazione o replica);
integrazione: l’integrazione diventa una somma dei valori del segnale;
derivazione: diventa una differenza finita tra il campione e il precedente: $\frac{1}{𝑇_{𝑐}} (𝑥 [𝑛] - 𝑥 [𝑛 - 1])$ ;

Statistiche di segnali digitali

valor medio: ${lim}_{𝐾 \to \infty} \frac{1}{𝐾} \sum_{𝑘 = - \frac{𝐾}{2}}^{\frac{𝐾}{2}} 𝑥 [𝑘]$
varianza: ${lim}_{𝐾 \to \infty} \frac{1}{𝐾} \sum_{𝑘 = - \frac{𝐾}{2}}^{\frac{𝐾}{2}} {(𝑥 [𝑘] - \overset{̅}{𝑥})}^{2}$
energia: $\sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} {(𝑥 [𝑘])}^{2}$
potenza: ${lim}_{𝐾 \to \infty} \frac{1}{𝐾} \sum_{𝑘 = - \frac{𝐾}{2}}^{\frac{𝐾}{2}} {(𝑥 [𝑘])}^{2}$
cross-correlazione:
- segnali di energia: ${ℛ︀}_{𝑥, 𝑦} (𝑘) = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑦 [𝑛 + 𝑘]$
- segnali di potenza: ${ℛ︀}_{𝑥, 𝑦} (𝑘) = {lim}_{𝐾 \to \infty} \frac{1}{𝐾} \sum_{𝑛 = - \frac{𝐾}{2}}^{\frac{𝐾}{2}} 𝑥 [𝑛] 𝑦 [𝑛 + 𝑘]$

Istogramma

Dato un segnale discreto, è possibile calcolare la densità di probabilità dei livelli assunti dal segnale.

La PDF di un segnale di $𝑁$ campioni e $𝐿$ valori $𝑣 (𝑙)$ è:

ℎ [𝑙] = \frac{1}{𝑁} \sum_{𝑛 = 1}^{𝑁} {\begin{cases} 1 & 𝑥 [𝑛] = 𝑣 (𝑙) \\ 0 & altrove \end{cases}

Sistemi numerici

L’elaborazione dei segnali digitali prevede l’utilizzo di sistemi numerici, che a loro volta producono altri segnali digitali.

Il segnale in uscita può avere caratteristiche diverse rispetto a quello in ingresso (dimensionalità, rappresentazione dei campioni, ecc.).

I sistemi numerici possono essere sia LTI che non-LTI.

Sistemi numerici LTI

linearità: $𝑓 (𝑎 𝑥_{1} [𝑛] + 𝑏 𝑥_{2} [𝑛]) = 𝑎 𝑓 (𝑥_{1} [𝑛]) + 𝑏 𝑓 (𝑥_{2} [𝑛])$ ;
invarianza temporale: $𝑓 (𝑥 [𝑛]) = 𝑦 [𝑛] \Rightarrow 𝑓 (𝑥 [𝑛 - 𝑘]) = 𝑦 [𝑛 - 𝑘]$ ;

Impulso di Kronecker

Per capire come definire la convoluzione nel caso discreto, dobbiamo prima dare una definizione di impulso (dato che non è possibile campionare un impulso).

𝛿 [𝑛] = {\begin{cases} 1 & 𝑛 = 0 \\ 0 & 𝑛 \neq 0 \end{cases}

Questa definizione mantiene tutte le proprietà della delta di Dirac:

il suo integrale vale 1;
è una funzione simmetrica;
un impulso $𝛿 [𝑛 - 𝑘]$ moltiplicato per un segnale discreto restituisce il valore del segnale $𝑥 [𝑛]$ in posizione $𝑘$ : $𝑥 [𝑘]$ .

Risposta impulsiva discreta

Dando in ingresso un impulso di Kronecker a un sistema numerico LTI, otterremo la risposta impulsiva discreta.

In generale l’effetto è un allargamento dell’impulso su una certa sequenza di campioni. Per questo motivo tale operazione viene spesso chiamata Point Spread Function (PSF).

La convoluzione tra segnali discreti diventa:

𝑦 [𝑛] = 𝑥 [𝑛] * ℎ [𝑛] = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] ℎ [𝑛 - 𝑘]