Richiami sui circuiti elettrici e Kirchhoff

Richiami sui circuiti elettrici

I protoni e gli elettroni sono dotati di carica elettrica, misurata in coulomb e con valore assoluto di $1.60218\times {10}^{-19}\text{C}$.

Il modulo del campo elettrico generato da una carica $𝑞$ è dato da $𝐸=\frac{1}{4𝜋{𝜀}_0}\frac{\left|𝑞\right|}{{𝑟}^2}$, dove $𝑟$ è la distanza da $𝑞$. La forza esercitata da $𝐸$ su una carica $𝑄$ è data da: $\overrightarrow{𝐹}=𝑄\overrightarrow{𝐸}$.

Si tratta di un campo conservativo, poiché il lavoro elettrico per spostare una carica non dipende dal percorso scelto.

Potenziale

Il potenziale elettrico si misura in volt e rappresenta l’energia potenziale per unità di carica in un dato campo elettrico.

$$𝑉=-{\int }_{𝐶}\overrightarrow{𝐸}\cdot d\overrightarrow{𝑠}$$

Corrente

La corrente elettrica è la quantità di carica che attraversa una superficie nell’unità di tempo. Un maggior numero di elettroni, o una maggiore velocità del flusso, corrispondono a una corrente più elevata.

$$𝑖\left(𝑡\right)=\frac{d𝑄\left(𝑡\right)}{d𝑡}$$

Note

La velocità degli elettroni in un filo è abbastanza bassa, nell’ordine dei centimetri al secondo.

Per convenzione storica, il verso della corrente è opposto al flusso degli elettroni.

Elementi circuitali

Un circuito elettrico è un sistema costituito da sorgenti di tensione o di corrente, carichi e connessioni.

Ogni elemento stabilisce una relazione tra la differenza di potenziale $𝑣$ ai suoi capi e la corrente $𝑖$ che scorre ai suoi terminali, detta caratteristica tensione/corrente.

Connessioni

Le connessioni sono i fili del circuito. Noi li consideriamo conduttori ideali, dove il campo elettrico è nullo e la differenza di potenziale (ddp) tra qualsiasi coppia di punti è sempre nulla.

La corrente è la stessa in ogni suo punto e non è vincolata (può assumere qualsiasi valore).

Un circuito aperto può essere rappresentato da un filo interrotto. In questo caso la corrente non fluisce e la ddp non è vincolata.

Resistore

Il resistore è un elemento con le seguenti caratteristiche:

• $𝑅=\frac{1}{𝐺}$
• $𝑣\left(𝑡\right)=𝑅𝑖\left(𝑡\right)$
• $𝑖\left(𝑡\right)=𝐺𝑣\left(𝑡\right)$

$𝑅$ è la resistenza, misurata in ohm [$\mathrm{\Omega }$]; il suo reciproco, $𝐺$, è chiamato conduttanza (misurata in siemens).

La potenza dissipata da un resistore è data dalla legge di Joule $𝑃=𝑣\left(𝑡\right)𝑖\left(𝑡\right)=𝑅{𝑖}^2$.

Se disegnassimo un grafico su un piano con assi $𝑖$ (ascisse) e $𝑣$ (ordinate), il rapporto $\frac{𝑣}{𝑖}$ rappresenterebbe una retta con pendenza $𝑅$.

• resistenze in serie: ${𝑅}_{\text{eq}}={\sum }_{𝑖}{𝑅}_{𝑖}$;
• resistenze in parallelo: ${𝑅}_{\text{eq}}=\frac{1}{{\sum }_{𝑖}\frac{1}{{𝑅}_{𝑖}}}$;

Generatore di tensione

Un generatore di tensione costante è un elemento che impone una differenza di potenziale (ddp) fissa. La corrente, in questo caso, non è vincolata e viene determinata dal resto del circuito.

Sul grafico $\frac{𝑖}{𝑣}$ sarebbe una retta verticale. Se viene spento equivale a un corto circuito.

Generatore di corrente

Il generatore di corrente fissa la corrente, mentre la tensione è determinata dal resto del circuito.

Sul grafico $𝑖$/$𝑣$ sarebbe una retta orizzontale. Se viene spento equivale a un circuito aperto.

Leggi di Kirchhoff

Si tratta di due leggi che, combinate con le caratteristiche degli altri elementi, ci permetteranno di analizzare i circuiti.

• KCL (Legge di Kirchhoff delle Correnti): la somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere uguale alla somma di quelle che ne escono.
• KVL (Legge di Kirchhoff delle Tensioni): la somma delle differenze di potenziale lungo qualsiasi maglia è sempre uguale a 0.