Impulso, gradino e circuiti RLC di secondo ordine

Risposta all’impulso e al gradino

Chiamiamo:

• $𝑔\left(𝑡\right)$ la risposta a stato $0$ ad un gradino unitario: ${𝑍}_0\left[𝜃\left(𝑡\right)\right]$;
• $ℎ\left(𝑡\right)$ la risposta a stato $0$ ad una delta di Dirac: ${𝑍}_0\left[𝛿\left(𝑡\right)\right]$;

Delta di Dirac in termini di gradini

Possiamo scrivere un impulso come una combinazione di due gradini:

• $\frac{𝜃\left(𝑡\right)}{𝑑}$: gradino a $0$ alto $\frac{1}{𝑑}$;
• $\frac{𝜃\left(𝑡-𝑑\right)}{𝑑}$: gradino a $𝑑$ alto $\frac{1}{𝑑}$;

L’impulso si ottiene così:

$${𝑃}_{𝑑\left(𝑡\right)}=\frac{𝜃\left(𝑡\right)}{𝑑}-\frac{𝜃\left(𝑡-𝑑\right)}{𝑑}$$

Quindi la risposta a questo impulso sarà:

$$\begin{array}{cc}{𝑍}_0\left[{𝑃}_{𝑑\left(𝑡\right)}\right]& =\frac{1}{𝑑}\left({𝑍}_0\left[𝜃\left(𝑡\right)\right]-{𝑍}_0\left[𝜃\left(𝑡-𝑑\right)\right]\right)\\ & =\frac{1}{𝑑}\left(𝑔\left(𝑡\right)-{𝑍}_0\left[{\mathrm{𝒯︀}}_{𝑑\left[𝜃\left(𝑡\right)\right]}\right]\right)\\ & =\frac{1}{𝑑}\left(𝑔\left(𝑡\right)-{\mathrm{𝒯︀}}_{𝑑\left[𝑔\left(𝑡\right)\right]}\right)\end{array}$$

Per $𝑑$ che tende a $0$ (e quindi per la delta di Dirac), si nota che l’equazione sopra corrisponde a quella della definizione di derivata di $𝑔$: ${𝑍}_0\left[𝛿\left(𝑡\right)\right]=ℎ\left(𝑡\right)=\frac{d𝑔\left(𝑡\right)}{d𝑡}$.

Circuiti RLC di secondo ordine a ingresso nullo

Prendiamo un circuito dove a ${𝑡}_0$ la tensione ai capi dei componenti in parallelo è ${𝑉}_{{𝐶}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_0$ e la corrente passante per l’induttore è ${𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝐼}_0$.

┌────┬────┐
C_1  L_1  R_1
└────┴────┘

Costruiamo il solito sistema:

$$\{\begin{array}{c}{𝑉}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)={𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)={𝑉}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)=𝑉\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)+{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)+{𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)=0\\ {𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)={𝑅}_1{𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)={𝐶}_1\frac{d{𝑉}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝑉}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)={𝐿}_1\frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝑉}_{{𝐶}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_0\\ {𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝐼}_0\end{array}$$

Semplificando otteniamo il seguente problema di Cauchy, che contiene un’equazione differenziale di secondo grado:

$$\{\begin{array}{c}{𝐶}_1\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{d𝑡}+{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)+\frac{𝑉\left(𝑡\right)}{{𝑅}_1}=0\\ \iff {𝐿}_1{𝐶}_1\frac{d^2{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^2}+\frac{{𝐿}_1}{{𝑅}_1}\frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}+{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)=0\\ \iff \frac{d^2{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^2}+\frac{1}{{𝑅}_1{𝐶}_1}\frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}+{𝐼}_{{𝐿}_1}\frac{𝑡}{{𝐿}_1{𝐶}_1}=0\\ {𝑉}_{{𝐶}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_0\\ {𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝐼}_0\end{array}$$

Definiamo due parametri reali e sempre positivi:

• $𝛼=\frac{1}{2{𝑅}_1{𝐶}_1}$ costante di smorzamento: indica quanto velocemente la corrente viene smorzata;
• ${𝜔}_0=\frac{1}{\sqrt{{𝐿}_1{𝐶}_1}}$ frequenza di risonanza: frequenza con la quale C e L si scambiano energia;

Il sistema diventa:

$$\{\begin{array}{c}\frac{d^2{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^2}+2𝛼\frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}+{𝜔}_0^2{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)=0\\ {𝑉}_{{𝐶}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_0\\ {𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)={𝐼}_0\end{array}$$

Si può notare che l’equazione assomiglia ad un polinomio di secondo grado: ${𝑥}^2+2𝛼𝑥+{𝜔}_0^2=0$, con soluzioni:

$${𝑥}_1,{𝑥}_2=\frac{-2𝛼+-\sqrt{4{𝛼}^2-4{𝜔}_0^2}}{2}=-𝛼+-\sqrt{{𝛼}^2-{𝜔}_0^2}$$

Le soluzioni possono essere:

• reali e distinte se $\mathrm{\Delta }>0$: nel caso sopra saranno ${𝑥}_2<{𝑥}_1<0$.

  La soluzione dell’equazione differenziale è:

$${𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)={𝑘}_1{𝑒}^{{𝑥}_1𝑡}+{𝑘}_2{𝑒}^{{𝑥}_2𝑡}$$

Questo caso è detto sovrasmorzato poiché abbiamo la somma di due esponenziali decrescenti.

• complesse se $\mathrm{\Delta }<0$:

  Quindi avremo ${𝑥}_1,{𝑥}_2=-𝛼+-𝑗{𝜔}_{𝑑}$, dove ${𝜔}_{𝑑}=\sqrt{{𝜔}_0^2-{𝛼}^2}$ è la pulsazione smorzata del circuito.

Note

In fisica l’unità dei numeri complessi si denota con $𝑗$ e non $𝑖$ per evitare confusione con la corrente.

A differenza del caso reale, ${𝑥}_1$ e ${𝑥}_2$ sono numeri complessi. La soluzione dell’equazione differenziale è:

$$\begin{array}{cc}{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)& ={𝑘}_1{𝑒}^{{𝑥}_1𝑡}+{𝑘}_2{𝑒}^{{𝑥}_2𝑡}\\ & ={𝑘}_1{𝑒}^{\left(-𝛼+𝑗{𝜔}_{𝑑}\right)𝑡}+{𝑘}_2{𝑒}^{\left(-𝛼-𝑗{𝜔}_{𝑑}\right)𝑡}\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}\left({𝑘}_1{𝑒}^{𝑗{𝜔}_{𝑑}𝑡}+{𝑘}_2{𝑒}^{-𝑗{𝜔}_{𝑑}𝑡}\right)\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}\left({𝑘}_1\left(cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)+𝑗sin\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)\right)+{𝑘}_2\left(cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)-𝑗sin\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)\right)\right)\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}\left(cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)\left({𝑘}_1+{𝑘}_2\right)+𝑗sin\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)\left({𝑘}_1-{𝑘}_2\right)\right)\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}\left(cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)𝐴+sin\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)𝐵\right)\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}\sqrt{{𝐴}^2+{𝐵}^2}\left(𝐴\frac{cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)}{\sqrt{{𝐴}^2+{𝐵}^2}}+𝐵\frac{sin\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)}{\sqrt{{𝐴}^2+{𝐵}^2}}\right)\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}\sqrt{{𝐴}^2+{𝐵}^2}\left(cos\left(𝜑\right)cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)+sin\left(𝜑\right)sin\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)\right)\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}𝐾\left(cos\left(𝜑\right)cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)+sin\left(𝜑\right)sin\left({𝜔}_{𝑑}𝑡\right)\right)\\ & ={𝑒}^{-𝛼𝑡}𝐾cos\left({𝜔}_{𝑑}𝑡-𝜑\right)\end{array}$$

Le variabili che appaiono sono:

• $𝐴={𝑘}_1+{𝑘}_2$
• $𝐵=𝑗\left({𝑘}_1-{𝑘}_2\right)$
• $𝐾=\sqrt{{𝐴}^2+{𝐵}^2}=2\sqrt{{𝑘}_1{𝑘}_2}$: è un numero reale per le condizioni iniziali che abbiamo dato;
• $𝜑$: angolo del triangolo rettangolo con cateti $𝐴$ e $𝐵$. Indica la fase del circuito;

Il grafico è quello di una sinusoidale che viene smorzata progressivamente. Questo caso è detto sottosmorzato.

Note

Lo stesso procedimento si usa molto comunemente anche in altri fenomeni fisici, ad esempio un oggetto oscillante su una molla con attrito.

• coincidenti se $\mathrm{\Delta }=0$, ${𝑥}_1={𝑥}_2=-𝛼$:

  La soluzione dell’equazione differenziale è:

$${𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)={𝑘}_1𝑡{𝑒}^{-𝛼𝑡}+{𝑘}_2{𝑒}^{-𝛼𝑡}$$

Il grafico è sempre una somma di due esponenziali decrescenti. Questo caso viene detto criticamente smorzato.

Note

Nel caso sottosmorzato con $𝛼=0$, il grafico è quello di una sinusoidale con valori periodici costanti all’infinito.

Questo caso viene detto non smorzato e non si può mai verificare nella realtà, poiché ci sarà sempre almeno una resistenza intrinseca nel circuito.