Matrici a scalini: pivot, rango e Rouché-Capelli

Matrice a scalini

Una matrice $𝑨$ è detta a scalini se $\forall {𝒓}_{𝑖},{𝒓}_{𝑖+1}$ (coppia di righe successive) si verifica una delle seguenti condizioni:

• ${𝒓}_{𝑖}$ e ${𝒓}_{𝑖+1}$ sono non nulle e il numero di coefficienti nulli che precedono il primo coefficiente non nullo in ${𝒓}_{𝑖}$ è inferiore rispetto a quello in ${𝒓}_{𝑖+1}$.
• ${𝒓}_{𝑖+1}$ è nulla (tutti i coefficienti hanno valore $0$).

Il primo coefficiente non nullo delle righe non nulle di una matrice a scalini è detto pivot.

Esempio di matrice a scalini:

$$𝑨=\left[\begin{array}{cccc}{𝑝}_1& \ast & \ast & \ast \\ 0& {𝑝}_2& \ast & \ast \\ 0& 0& 0& {𝑝}_3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

• ${𝑝}_1$, ${𝑝}_2$ e ${𝑝}_3$ sono i pivot della matrice $𝑨$.
• $\ast$ indica un coefficiente con valore qualsiasi.

Algoritmo di Gauss

Questo algoritmo si usa per ridurre una matrice qualsiasi nella sua forma a scalini. Da una matrice qualsiasi si possono ottenere diverse forme a scalini, però tutte avranno lo stesso numero di pivot.

1. Cerchiamo la prima colonna che contiene un coefficiente non nullo e chiamiamo tale coefficiente ${𝑝}_1$.
2. Scambiamo le righe in modo che la riga contenente ${𝑝}_1$ diventi la prima.
3. Applichiamo operazioni elementari del tipo ${𝐸}_{𝑖,1}\left(𝜆\right)$ in modo da rendere $0$ tutti gli altri coefficienti della colonna di ${𝑝}_1$.
4. Ripetiamo il procedimento con la matrice ottenuta escludendo la prima riga.

Note

Quando la matrice contiene dei parametri, è meglio collocare le righe che li contengono in fondo alla matrice.

Rango di una matrice

Il rango di una matrice $𝑨$ è il numero di pivot di una sua forma a scalini. Si denota con: $rg\left(𝑨\right)$.

Riduzione per righe

La forma ridotta per righe di una matrice $𝑨$ si denota con $rref\left(𝑨\right)$.

Si ottiene quando $𝑨$ è ridotta a scalini e ogni suo pivot ha valore 1 ed è l’unico elemento non nullo della sua colonna. Ogni matrice ammette un’unica forma a scalini ridotta per righe.

Esempio di una matrice ridotta per righe:

$$𝑨=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 5\end{array}\right]$$

Algoritmo della riduzione all’indietro

Si usa per passare da una matrice a scalini alla sua forma ridotta per righe.

1. Per ogni pivot ${𝑝}_{𝑘}$, eseguiamo l’operazione ${𝐷}_{𝑘}\left({𝑝}_{𝑘}^{-1}\right)$, in modo da portare il pivot ad avere valore 1.
2. Riduciamo a 0 tutti gli altri coefficienti della colonna di ${𝑝}_{𝑘}$ tramite operazioni di tipo ${𝐸}_{𝑗,𝑘}\left(𝜆\right)$.

Teorema di Rouché-Capelli

Dato un sistema lineare in $𝑛$ incognite, con la sua matrice completa associata ($𝑨|𝒃$), tale sistema è compatibile se e solo se:

$$rg\left(𝑨\right)=rg\left(𝑨|𝒃\right)$$

In questo caso il sistema avrà:

• un’unica soluzione se $rg\left(𝑨\right)=𝑛$;
• infinite soluzioni se $rg\left(𝑨\right)<𝑛$;