Fitting, convoluzione e trasformata di Laplace

Fit

Dato un insieme di coppie di dati $(𝑥_{𝑖}, 𝑦_{𝑖})$ , rappresentati su un grafico, possiamo trovare una curva che approssimi al meglio i dati sperimentali.

A tal scopo, si minimizza la somma degli errori quadratici, come già visto in Introduzione al machine learning.

Teorema della convoluzione (per T. di Fourier)

Per il teorema della convoluzione, la convoluzione tra due funzioni nel dominio del tempo corrisponde alla moltiplicazione delle loro trasformate nel dominio delle frequenze.

Di seguito si dimostra che la risposta di un circuito è più semplice da calcolare nel dominio delle frequenze (la complessità si sposta nella conversione tra i due domini):

\begin{aligned} \tilde{𝑌} (𝜔) = \tilde{𝐻} (𝜔) \tilde{𝑋} (𝜔) \Leftrightarrow 𝑦 (𝑡) & = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{𝑌} (𝜔) 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡} d 𝜔 \\ = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{𝐻} (𝜔) \tilde{𝑋} (𝜔) 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡} d 𝜔 \\ = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{𝐻} (𝜔) \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝑒^{- 𝑗 𝜔 𝜏} d 𝜏 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡} d 𝜔 \\ = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{𝐻} (𝜔) \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝑒^{𝑗 𝜔 (𝑡 - 𝜏)} d 𝜏 d 𝜔 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{2 𝜋} \tilde{𝐻} (𝜔) 𝑒^{𝑗 𝜔 (𝑡 - 𝜏)} d 𝜔 d 𝜏 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) ℎ (𝑡 - 𝜏) d 𝜏 \\ = 𝑥 (𝑡) * ℎ (𝑡) \end{aligned}

Trasformata di Laplace

Abbiamo visto che la trasformata di Laplace esiste solo se $𝑓 \in 𝐿^{1}$ . La funzione gradino, usata molto comunemente, non appartiene a questa categoria.

Tuttavia, esiste una trasformata notevole che coinvolge la funzione gradino: $𝜃 (𝑡) 𝑒^{- 𝑎 𝑡}$ . Introducendo il termine esponenziale (con $𝑎 > 0$ ), è possibile estendere la classe di funzioni $𝐿^{1}$ .

\int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) 𝑒^{- 𝑎 𝑡} 𝑒^{- 𝑗 𝜔 𝑡} d 𝑡

Si è modificato leggermente il kernel della trasformata di Fourier. Tuttavia, si presenta un nuovo problema: per $𝑡 \to - \infty$ l’integrale non converge.

Modificando la definizione e ponendo l’intervallo di integrazione in $[0, + \infty)$ , il problema si risolve. Introducendo il numero complesso $𝑠 = 𝑎 + 𝑗 𝜔$ , la trasformata di Laplace è definita come:

\int_{0}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) 𝑒^{- 𝑠 𝑡} d 𝑡

Il dominio della funzione trasformata cambia leggermente: il parametro $𝑠$ è ora un numero complesso qualsiasi, cioè $\tilde{𝐹} (𝑠) : ℂ \to ℂ$ .

ROC (Region of convergence)

Il ROC (Region of Convergence) è l’insieme dei valori nel piano di Argand-Gauss per i quali la trasformata converge.

Trasformata di Laplace del gradino

𝜃 (𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow} \frac{1}{𝑠}

La ROC è $ℜ (𝑠) > 0$ come da definizione.

Trasformata di una derivata

\begin{aligned} ℒ︀ {\frac{d 𝑓 (𝑡)}{d 𝑡}} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d 𝑓 (𝑡)}{d 𝑡} 𝑒^{- 𝑠 𝑡} d 𝑡 \\ = {[𝑓 (𝑡) 𝑒^{- 𝑠 𝑡}]}_{0}^{+ \infty} - \int_{0}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) (- 𝑠) 𝑒^{- 𝑠 𝑡} d 𝑡 \\ = - 𝑓 (0) + 𝑠 \int_{0}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) 𝑒^{- 𝑠 𝑡} d 𝑡 = - 𝑓 (0) + 𝑠 \tilde{𝐹} (𝑠) \end{aligned}

Per la derivata $𝑛$ -esima otteniamo:

\frac{d^{𝑛} 𝑓 (𝑡)}{d 𝑡^{𝑛}} \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow} 𝑠^{𝑛} \tilde{𝐹} (𝑠) - \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑠^{𝑛 - 𝑖} \frac{d^{𝑖 - 1} 𝑓 (0)}{d 𝑡^{𝑖 - 1}}

Trasformata di un integrale

\int_{0}^{𝑡} 𝑓 (𝑡) d 𝑡 \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow} \frac{1}{𝑠} \tilde{𝐹} (𝑠)

Altre trasformate notevoli

$𝑓 (𝑡)$	$\tilde{𝐹} (𝑠)$	ROC	Condizioni
$𝜃 (𝑡)$	$\frac{1}{𝑠}$	$ℜ (𝑠) > 0$
$𝜃 (𝑡 - 𝑑)$	$\frac{𝑒^{- 𝑑 𝑠}}{𝑠}$	$ℜ (𝑠) > 0$	$𝑑 > 0$
$𝛿 (𝑡)$	$1$
$𝛿 (𝑡 - 𝑑)$	$𝑒^{- 𝑑 𝑠}$		$𝑑 > 0$
$𝑡^{𝑛}$	$\frac{𝑛!}{𝑠^{𝑛 + 1}}$	$ℜ (𝑠) > 0$	$𝑛 \in ℕ$
$𝑒^{𝑑 𝑡}$	$\frac{1}{𝑠 - 𝑑}$	$ℜ (𝑠) > ℜ (𝑑)$	$𝑑 \in ℂ$
$sin (𝑑 𝑡)$	$\frac{𝑑}{𝑠^{2} + 𝑑^{2}}$	$ℜ (𝑠) > 0$	$𝑑 \in ℝ$