Basi di spazi vettoriali e rango di una matrice

Base di uno spazio vettoriale

Sia $𝑉$ uno spazio vettoriale finitamente generato. Un insieme di vettori $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑛}\right\}$ è detto base di $𝑉$ se:

• è un insieme di generatori di $𝑉$;
• è linearmente indipendente;

Ogni vettore $𝒗\in 𝑉$ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base $\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑛}\right\}$.

Dati un insieme di vettori $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑛}\right\}\subseteq {ℝ}^{𝑚}$ e la matrice $𝑨=\left[\begin{array}{ccc}{𝒗}_1& \dots & {𝒗}_{𝑛}\end{array}\right]\in {𝕄}_{𝑚,𝑛}\left(ℝ\right)$:

• $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑛}\right\}\in {ℝ}^{𝑚}$ è un sistema di generatori di ${ℝ}^{𝑚}$ se e solo se $rg\left(𝑨\right)=𝑚$, con $𝑛\ge 𝑚$.
• $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑛}\right\}\in {ℝ}^{𝑚}$ è linearmente indipendente se e solo se $rg\left(𝑨\right)=𝑛$, con $𝑛\le 𝑚$.
• $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑛}\right\}\in {ℝ}^{𝑚}$ è una base di ${ℝ}^{𝑚}$ se e solo se $rg\left(𝑨\right)=𝑚=𝑛$.