Forme differenziali chiuse e superfici

Costruzione di un potenziale per una forma differenziale chiusa su un aperto convesso

Sia $𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ un insieme aperto convesso, e sia $𝜔=𝐹\cdot d𝑥$ una forma differenziale chiusa su $𝐸$.

In base al teorema della lezione precedente, sappiamo che esiste un potenziale $𝑈:𝐸\to ℝ$ di $𝜔$, ovvero una funzione $𝑈\in {𝐶}^2\left(𝐸\right)$ tale che $\nabla 𝑈\left(𝒙\right)=𝐹\left(𝒙\right)$.

Procedura per la costruzione della funzione $𝑈$:

1. Consideriamo il caso $𝑖=1$, cioè imponiamo:

   $$\frac{𝜕𝑈}{𝜕{𝑥}_1}\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)={𝐹}_1\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)$$

2. Fissiamo ${𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}$ ed integriamo rispetto ad ${𝑥}_1$:

   $$𝑈\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)=\int {𝐹}_1\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)d{𝑥}_1={𝑈}_1\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+{𝑐}_1\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)$$

   dove ${𝑐}_1$ rappresenta la costante di integrazione rispetto a ${𝑥}_1$.

3. Ora passiamo ad $𝑖=2$:

   $$\frac{𝜕𝑈}{𝜕{𝑥}_2}=\frac{𝜕{𝑈}_1}{𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+\frac{𝜕{𝑐}_1}{𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)={𝐹}_2\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)$$

   Quindi:

   $$\frac{𝜕{𝑐}_1}{𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)={𝐹}_2\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)-\frac{𝜕{𝑈}_1}{𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)$$

4. Si osserva che questa uguaglianza è indipendente da ${𝑥}_1$. Questa proprietà può essere verificata applicando la regola delle derivate parziali incrociate, che sono uguali dato che $𝜔$ è chiusa.

   $$\begin{array}{cc}\frac{{𝜕}^2{𝑐}_1}{𝜕{𝑥}_1𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)& =\frac{𝜕{𝐹}_2}{𝜕{𝑥}_1}\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)-\frac{{𝜕}^2{𝑈}_1}{𝜕{𝑥}_1𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)\\ & =\frac{𝜕{𝐹}_2}{𝜕{𝑥}_1}\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)-\frac{𝜕{𝐹}_1}{𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)=0\end{array}$$

   Per trovare ${𝑐}_1$ integriamo rispetto a ${𝑥}_2$:

   $$\int \frac{𝜕{𝑐}_1}{𝜕{𝑥}_2}\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)d{𝑥}_2={𝑈}_2\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+{𝑐}_2\left({𝑥}_3,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)$$

   sostituendo, si ottiene:

   $$𝑈\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)={𝑈}_1\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+{𝑈}_2\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+{𝑐}_2\left({𝑥}_3,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)$$

5. Dopo aver svolto questa procedura per tutte le variabili, otteniamo che la funzione $𝑈$ sarà della forma:

   $$𝑈\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)={𝑈}_1\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+{𝑈}_2\left({𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+\dots +{𝑈}_{𝑛-1}\left({𝑥}_{𝑛-1},\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)+{𝑈}_{𝑛}\left({𝑥}_{𝑛}\right)+{𝑐}_{𝑛}$$

   dove ${𝑐}_{𝑛}\in ℝ$. Questa funzione $𝑈$ è dunque la funzione potenziale richiesta.

Superfici ed integrali di superficie

In senso intuitivo, una superficie è un oggetto bidimensionale, privo di spessore.

Curva di Jordan nel piano

Una curva di Jordan è una curva piana $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to {ℝ}^2$ semplice e chiusa.

Proprietà:

• Il sostegno $\mathrm{\Gamma }=𝛾\left(\left[𝑎,𝑏\right]\right)$ divide il piano in due insiemi aperti: uno limitato, che designiamo come interno della curva (${𝐷}_{\text{int}}$), e l’altro illimitato, che chiamiamo esterno della curva (${𝐷}_{\text{est}}$).
• ${𝐷}_{\text{int}}$ e ${𝐷}_{\text{est}}$ hanno la stessa frontiera che coincide con $\mathrm{\Gamma }$.

Superficie

Un sottoinsieme $𝑆\subset {ℝ}^3$ è definito superficie (elementare) se esiste una mappa $𝜎:\overline{𝐷}\subseteq {ℝ}^2\to {ℝ}^3$, $𝜎\left(𝑢,𝑣\right)=\left(𝑥\left(𝑢,𝑣\right),𝑦\left(𝑢,𝑣\right),𝑧\left(𝑢,𝑣\right)\right)$, che soddisfa le seguenti condizioni:

• $𝐷$ è un aperto di ${ℝ}^2$, interno di una curva di Jordan.
• $𝜎$ è continua e $𝜎:𝐷\to {ℝ}^3$ è iniettiva.
• $𝜎\left(𝐷\right)=𝑆$

Note

$\overline{𝐷}$ indica l’unione tra l’insieme $𝐷$ e la sua frontiera.

Una funzione verificante le precedenti condizioni è detta una parametrizzazione di $𝑆$.

$𝑆$ si dice una superficie cartesiana se esiste una parametrizzazione $𝜎:\overline{𝐷}\subseteq {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ del tipo:

$$𝜎\left(𝑢,𝑣\right)=\{\begin{array}{c}\left(𝑓\left(𝑢,𝑣\right),𝑢,𝑣\right)\\ \left(𝑢,𝑓\left(𝑢,𝑣\right),𝑣\right)\\ \left(𝑢,𝑣,𝑓\left(𝑢,𝑣\right)\right)\end{array}$$

dove $𝑓:\overline{𝐷}\to ℝ$ continua.

Osservazioni:

• A differenza delle curve, il nome superficie è dato all’immagine della parametrizzazione e non alla parametrizzazione stessa.
• La definizione attuale si riferisce esclusivamente a superfici limitate.
• Data una superficie $𝑆\subset {ℝ}^3$, la sua parametrizzazione non è unica.

Punti interni e bordo di una superficie

La definizione di punto interno e di bordo da un punto di vista intrinseco differisce da quelle frontiera e parte interna di $𝑆$ vista come sottoinsieme di ${ℝ}^3$ (in quanto $𝜕𝑆=𝑆$ e $\dot{𝑆}=\varnothing$).

• Un punto $𝒙\in 𝑆$ si dice interno ad $𝑆$ se esiste un intorno $𝐵\left(𝒙,𝑟\right)$ ed una parametrizzazione ${𝜎}_{𝑝}:\overline{{𝐷}_{𝑝}}\subseteq {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ di $\overline{𝐵\left(𝒙,𝑟\right)\cap 𝑆}$ tale che $𝒙\in {𝜎}_{𝑝}\left({𝐷}_{𝑝}\right)$.

  L’insieme di punti interni di $𝑆$ si denota con ${𝑆}^{\prime }$.

• Si chiama bordo di $𝑆$ ($bor\left(𝑆\right)$) l’insieme dei punti che non sono interni ad $𝑆$, ovvero $bor\left(𝑆\right)=𝑆\setminus {𝑆}^{\prime }$.

Regolarità di una superficie e piano tangente

La regolarità (${𝐶}^1$) della parametrizzazione di una superficie non basta per garantire l’esistenza del piano tangente ad essa.

Siano:

• $𝜎:\overline{𝐷}\to 𝑆$ di classe ${𝐶}^1$
• $𝜎\left(𝑢,𝑣\right)=\left(𝑥\left(𝑢,𝑣\right),𝑦\left(𝑢,𝑣\right),𝑧\left(𝑢,𝑣\right)\right)$
• $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to 𝐷$ di classe ${𝐶}^1$
• $𝛾\left(𝑡\right)=\left(𝑢\left(𝑡\right),𝑣\left(𝑡\right)\right)$
• $𝛾\left({𝑡}_0\right)=\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$
• ${𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$
• $\widetilde{𝛾}:\left[𝑎,𝑏\right]\to 𝑆$
• $\widetilde{𝛾}\left(𝑡\right)=𝜎\left(𝛾\left(𝑡\right)\right)=\left(𝑥\left(𝛾\left(𝑡\right)\right),𝑦\left(𝛾\left(𝑡\right)\right),𝑧\left(𝛾\left(𝑡\right)\right)\right)$

L’esistenza del piano $𝜋$ tangente a $𝑆$ in un punto interno $𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$ dovrebbe implicare che, per qualsiasi curva $𝛾$ che rispetti le condizioni stabilite:

• anche $\widetilde{𝛾}$ è una curva di classe ${𝐶}^1$ con ${\widetilde{𝛾}}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$;
• la retta tangente a $\widetilde{𝛾}$, passante per $\widetilde{𝛾}\left({𝑡}_0\right)$ deve appartenere a $𝜋$;

Per la RDC:

$${\widetilde{𝛾}}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)={𝑢}^{\prime }\left({𝑡}_0\right){𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+{𝑣}^{\prime }\left({𝑡}_0\right){𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$$

dove:

$$\begin{array}{c}{𝜎}_{𝑢}\left(𝑢,𝑣\right)=\frac{𝜕𝜎}{𝜕𝑢}\left(𝑢,𝑣\right)=\left(\frac{𝜕𝑥}{𝜕𝑢},\frac{𝜕𝑦}{𝜕𝑢},\frac{𝜕𝑧}{𝜕𝑢}\right)\\ {𝜎}_{𝑣}\left(𝑢,𝑣\right)=\frac{𝜕𝜎}{𝜕𝑣}\left(𝑢,𝑣\right)=\left(\frac{𝜕𝑥}{𝜕𝑣},\frac{𝜕𝑦}{𝜕𝑣},\frac{𝜕𝑧}{𝜕𝑣}\right)\\ {𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)=\left({𝑢}^{\prime }\left({𝑡}_0\right),{𝑣}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\right)\end{array}$$

Vogliamo imporre che ${\widetilde{𝛾}}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$ al fine di verificare la regolarità della superficie nel punto $𝜎\left(𝛾\left({𝑡}_0\right)\right)$.

Affinché ${\widetilde{𝛾}}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$ per ogni curva ammissibile (con ${𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$), è necessario che ${𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$ e ${𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$ siano linearmente indipendenti. Di conseguenza, il loro prodotto vettoriale sarà diverso da $\mathrm{𝟎}$.

Consideriamo il piano $𝜋$ definito dall’equazione parametrica:

$$𝜋=𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+𝜆{𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+𝜇{𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$$

e osserviamo che la sua equazione cartesiana corrisponde a:

$$𝑎\left(𝑥-{𝑥}_0\right)+𝑏\left(𝑦-{𝑦}_0\right)+𝑐\left(𝑧-{𝑧}_0\right)=0$$

dove:

• $\left(𝑎,𝑏,𝑐\right)={𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\times {𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$;
• $\left({𝑥}_0,{𝑦}_0,{𝑧}_0\right)=𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$;

Pertanto, se $\left(𝑥,𝑦,𝑧\right)\in 𝜋$, esistono $𝜆$ e $𝜇$ tali che

$$\left(𝑥,𝑦,𝑧\right)=𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+𝜆{𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+𝜇{𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$$

Si osserva anche che la retta tangente a $\widetilde{𝛾}\left({𝑡}_0\right)$, di equazione parametrica:

$$\begin{array}{cc}\left(𝑥,𝑦,𝑧\right)& =𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+{\widetilde{𝛾}}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\left(𝑡-{𝑡}_0\right)\\ & =𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+\left({𝑢}^{\prime }\left({𝑡}_0\right){𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+{𝑣}^{\prime }\left({𝑡}_0\right){𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\right)\left(𝑡-{𝑡}_0\right)\\ & =𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+{𝑢}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\left(𝑡-{𝑡}_0\right){𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+{𝑣}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\left(𝑡-{𝑡}_0\right){𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\end{array}$$

appartiene a $𝜋$.

Punto regolare di una superficie

Sia $𝑆\subseteq {ℝ}^3$ una superficie e sia ${𝒙}_0\in 𝑆$.

${𝒙}_0$ si dice regolare se esistono $𝐵\left({𝒙}_0,𝑟\right)$ e una parametrizzazione $𝜎:\overline{𝐷}\to {ℝ}^3$ di $\overline{𝐵\left({𝒙}_0,𝑟\right)\cap 𝑆}$ tali che:

• $𝜎$ sia di classe ${𝐶}^1$;
• ${𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\times {𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$, dove $𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)={𝒙}_0$;

In questo caso, $𝜋$ è il piano tangente ad $𝑆$ nel punto ${𝒙}_0$.

Note

• I due versori $\pm \frac{{𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\times {𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)}{\Vert {𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\times {𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\Vert }$ sono chiamati direzioni normali a $𝑆$ in ${𝒙}_0$.

• $𝑆$ si dice regolare se tutti i punti interni ad essa sono regolari.