Matrici trasposte, simmetriche e operazioni

Diagonale principale di una matrice

In una matrice di $𝑚$ righe e $𝑛$ colonne, l’insieme degli elementi $𝑎_{𝑖, 𝑗} | 𝑖 = 𝑗$ è detto diagonale principale della matrice.

Matrici particolari

Matrice trasposta: Data una matrice $𝑨 = [𝑎_{𝑖, 𝑗}]$ , la matrice $𝑨^{𝑇} = [𝑎_{𝑗, 𝑖}]$ è detta matrice trasposta di $𝑨$ .
In pratica si scambiano le righe con le colonne.
Matrice simmetrica: Se $𝑨$ è quadrata e coincide con la sua trasposta, allora essa è detta una matrice simmetrica (rispetto alla diagonale principale).
Esempio:
$𝑨 = 𝑨^{𝑇} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix}]$
Matrice nulla : matrice i cui coefficienti sono tutti $0$ . Si denota con $𝟎 = [0_{𝑖, 𝑗}]$ .
Matrice colonna: è una matrice con una sola colonna.
Matrice riga: è una matrice con una sola riga.
Matrice opposta: la matrice opposta di $𝑨 = [𝑎_{𝑖, 𝑗}]$ è $- 𝑨 = [- 𝑎_{𝑖, 𝑗}]$ .

Operazioni tra matrici

Somma

Si considerino due matrici $𝑨, 𝑩 \in 𝕄_{𝑚, 𝑛} (ℝ)$ con coefficienti $[𝑎_{𝑖, 𝑗}]$ e $[𝑏_{𝑖, 𝑗}]$ rispettivamente.

La somma delle due è la matrice:

𝑪 = [𝑎_{𝑖, 𝑗} + 𝑏_{𝑖, 𝑗}]

Proprietà:

$𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨$
$𝑨 + (𝑩 + 𝑪) = (𝑨 + 𝑩) + 𝑪$
$𝑨 + 𝟎 = 𝑨$

Prodotto per uno scalare

Il prodotto tra la matrice $𝑨$ e lo scalare $𝜆$ è:

𝑩 = [𝜆 𝑎_{𝑖, 𝑗}]

Proprietà:

$𝜆 (𝜇 𝑨) = (𝜆 𝜇) 𝑨$
$(𝜆 + 𝜇) 𝑨 = 𝜆 𝑨 + 𝜇 𝑨$
$𝜆 (𝑨 + 𝑩) = 𝜆 𝑨 + 𝜆 𝑩$
$1 𝑨 = 𝑨$

Prodotto di matrici

Una matrice $𝑨 \in 𝕄_{𝑚, 𝑛} (ℝ)$ è detta conformabile a sinistra a una matrice $𝑩 \in 𝕄_{𝑛, 𝑝} (ℝ)$ perché il numero di colonne di $𝑨$ è uguale al numero di righe di $𝑩$ .

Il prodotto righe per colonne è una matrice $𝑪 \in 𝕄_{𝑚, 𝑝} (ℝ)$ dove:

𝑐_{𝑖, 𝑘} = \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑎_{𝑖, 𝑗} 𝑏_{𝑗, 𝑘}

Proprietà:

Date $𝑨 \in 𝕄_{𝑛_{1}, 𝑛_{2}} (ℝ)$ , $𝑩 \in 𝕄_{𝑛_{2}, 𝑛_{3}} (ℝ)$ , $𝑪 \in 𝕄_{𝑛_{3}, 𝑛_{4}} (ℝ)$ :

$(𝑨 𝑩) 𝑪 = 𝑨 (𝑩 𝑪)$
$𝜆 (𝑨 𝑩) = (𝜆 𝑨) 𝑩 = 𝑨 (𝜆 𝑩)$
$𝑨 𝑰_{𝑛_{2}} = 𝑨$

Inoltre, se $𝑨, 𝑩 \in 𝕄_{𝑚, 𝑛} (ℝ)$ e $𝑪 \in 𝕄_{𝑛, 𝑝} (ℝ)$ :

$(𝑨 + 𝑩) 𝑪 = 𝑨 𝑪 + 𝑩 𝑪$

e, se $𝑨 \in 𝕄_{𝑚, 𝑛} (ℝ)$ e $𝑩, 𝑪 \in 𝕄_{𝑛, 𝑝} (ℝ)$ :

$𝑨 (𝑩 + 𝑪) = 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝑪$

Matrice identità

La matrice identità è una matrice quadrata $𝑰 \in 𝕄_{𝑛, 𝑛} (ℝ)$ che ha tutti i coefficienti uguali a $1$ sulla diagonale principale e $0$ altrove.

Una matrice identità di ordine 3 si denota così:

𝑰_{3} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]