Additività e cambio variabili integrali doppi

Additività dell’integrale doppio

Siano ${𝐴}_1,\dots ,{𝐴}_{𝑛}$ insiemi semplici tali che ${𝐴}_{𝑖}\cap {𝐴}_{𝑗}\subseteq 𝜕{𝐴}_{𝑖}\cap 𝜕{𝐴}_{𝑗}$ con $𝑖\ne 𝑗$ (due insiemi si intersecano solo sulla loro frontiera).

Sia $𝑓:{𝐴}_1\cup \dots \cup {𝐴}_{𝑛}\to ℝ$ e supponiamo che $\forall 𝑖,𝑓\in 𝑅\left({𝐴}_{𝑖}\right)$. Allora $𝑓$ è integrabile su ${𝐴}_1\cup \dots \cup {𝐴}_{𝑛}$ e:

$${\iint }_{{𝐴}_1\cup \dots \cup {𝐴}_{𝑛}}𝑓=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{\iint }_{{𝐴}_{𝑖}}𝑓$$

Cambiamento di variabili per integrali doppi

Siano $𝐴,{𝐴}^{\prime }\subseteq {ℝ}^2$ aperti, limitati e misurabili e sia $𝜓:{𝐴}^{\prime }\to 𝐴$, $𝜓\left(𝑢,𝑣\right)=\left({𝜓}_1\left(𝑢,𝑣\right),{𝜓}_2\left(𝑢,𝑣\right)\right)$, con ${𝜓}_1,{𝜓}_2:{𝐴}^{\prime }\to ℝ$.

La trasformazione $𝜓$ è definita come cambiamento di variabili se:

• $𝜓$ è biettiva;
• ${𝜓}_{𝑖}\in {𝐶}^1\left({𝐴}^{\prime }\right)$, e le funzioni ${𝜓}_{𝑖},\frac{𝜕{𝜓}_{𝑖}}{𝜕𝑢},\frac{𝜕{𝜓}_{𝑖}}{𝜕𝑣}$ sono limitate in ${𝐴}^{\prime }$;
• $\forall \left(𝑢,𝑣\right)\in {𝐴}^{\prime },det\left({𝐷}_{𝜓}\left(𝑢,𝑣\right)\right)\ne 0$, dove ${𝐷}_{𝜓}\left(𝑢,𝑣\right)$ è la matrice jacobiana di $𝜓$.

Denotiamo $d{𝐴}^{\prime }=d𝑢d𝑣$ e $d𝐴=d𝑥d𝑦$. Allora vale il seguente teorema:

$${\iint }_{𝐴}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)d𝑥d𝑦={\iint }_{{𝐴}^{\prime }}𝑓\left(𝜓\left(𝑢,𝑣\right)\right)\left|det\left({𝐷}_{𝜓\left(𝑢,𝑣\right)}\right)\right|d𝑢d𝑣$$