Lunghezza di curve e integrali curvilinei

Lunghezza di una curva

Sia $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to {ℝ}^{𝑛}$ una curva e sia $𝐷=\left\{𝑎={𝑡}_0<{𝑡}_1<\dots <{𝑡}_{𝑁}=𝑏\right\}$ una suddivisione di $\left[𝑎,𝑏\right]$. Di conseguenza anche il sostegno di $𝛾$ è suddiviso in $𝑁+1$ punti definiti da $𝛾\left({𝑡}_0\right),\dots ,𝛾\left({𝑡}_{𝑁}\right)$.

Consideriamo i segmenti $\left[𝛾\left({𝑡}_{𝑖-1}\right),𝛾\left({𝑡}_{𝑖}\right)\right]$. La lunghezza dell’unione ${\cup }_{𝑖=1}^{𝑁}\left[𝛾\left({𝑡}_{𝑖-1}\right),𝛾\left({𝑡}_{𝑖}\right)\right]$ è data da:

$$𝐿\left(𝛾,𝐷\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑁}\Vert 𝛾\left({𝑡}_{𝑖-1}\right)-𝛾\left({𝑡}_{𝑖}\right)\Vert$$

Ora denotiamo:

$$𝐿\left(𝛾\right)=\underset{𝐷}{sup}𝐿\left(𝛾,𝐷\right)$$

Se $𝐿\left(𝛾\right)<\infty$, allora la curva si dice rettificabile e $𝐿\left(𝛾\right)$ è detta lunghezza di $𝛾$.

Note

Si può provare che esistono curve (frattali) che hanno lunghezza infinita anche se l’intervallo di partenza è limitato.

Teorema della lunghezza di una curva

Sia $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to {ℝ}^{𝑛}$ una curva di classe ${𝐶}^1$. Allora $𝛾$ è rettificabile e:

$$𝐿\left(𝛾\right)={\int }_{𝑎}^{𝑏}\Vert {𝛾}^{\prime }\left(𝑡\right)\Vert d𝑡={\int }_{𝑎}^{𝑏}\sqrt{{\left({𝛾}_1^{\prime }\left(𝑡\right)\right)}^2+\dots +{\left({𝛾}_{𝑛}^{\prime }\left(𝑡\right)\right)}^2}d𝑡$$

Lunghezza di curve piane cartesiane

Sia $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to {ℝ}^2$ una curva piana cartesiana di classe ${𝐶}^1$, ovvero:

$$𝛾\left(𝑡\right)=\left(𝑡,𝑓\left(𝑡\right)\right)\vee 𝛾\left(𝑡\right)=\left(𝑓\left(𝑡\right),𝑡\right),\text{con}𝑓\in {𝐶}^1\left(\left[𝑎,𝑏\right]\right)$$

Allora $𝛾$ è rettificabile e:

$$𝐿\left(𝛾\right)={\int }_{𝑎}^{𝑏}\sqrt{1+{𝑓}^{\prime }{\left(𝑡\right)}^2}d𝑡$$

Indipendenza della lunghezza dalla parametrizzazione

Siano $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to {ℝ}^{𝑛}$ e $\widetilde{𝛾}:\left[𝛼,𝛽\right]\to {ℝ}^{𝑛}$ curve di classe ${𝐶}^1$ equivalenti. Allora:

$$𝐿\left(𝛾\right)=𝐿\left(\widetilde{𝛾}\right)$$

Lunghezza di una curva ${𝐶}^1$ a tratti

La lunghezza di una curva ${𝐶}^1$ a tratti è data dalla somma delle lunghezze dei vari segmenti che la compongono.

Integrali curvilinei di I specie

Sia $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to {ℝ}^{𝑛}$ una curva di classe ${𝐶}^1$ e sia $𝑓:𝛾\left(\left[𝑎,𝑏\right]\right)\to ℝ$ una funzione continua. Si definisce l’integrale curvilineo di I specie di $𝑓$ su $𝛾$ come:

$${\int }_{𝛾}𝑓d𝑠={\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝛾\left(𝑡\right)\right)\Vert {𝛾}^{\prime }\left(𝑡\right)\Vert d𝑡$$

Se $𝛾$ è una curva chiusa e semplice, allora si usa anche il simbolo:

$${\oint }_{𝛾}𝑓d𝑠$$

• L’integrale curvilineo di I specie è lineare: ${\int }_{𝛾}\left(𝛼𝑓+𝛽𝑔\right)d𝑠=𝛼{\int }_{𝛾}𝑓d𝑠+𝛽{\int }_{𝛾}𝑔d𝑠$
• L’integrale curvilineo di I specie si estende a curve ${𝐶}^1$ a tratti. ${\int }_{𝛾}𝑓d𝑠={\sum }_{𝑖=1}^{𝑁}{\int }_{{𝛾}_{|\left[{𝑡}_{𝑖-1},{𝑡}_{𝑖}\right]}}𝑓d𝑠$
• Il valore dell’integrale curvilineo non dipende dalla parametrizzazione della curva.

Campi vettoriali

Si chiama campo vettoriale su un insieme $𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ una mappa $𝐹:𝐸\to {ℝ}^{𝑛}$, dove $𝐹\left(𝒙\right)=\left({𝐹}_1\left(𝒙\right),\dots ,{𝐹}_{𝑛\left(𝒙\right)}\right)$.

In fisica, un campo vettoriale può rappresentare una forza applicata ad un punto $𝒙\in 𝐸$.

Forma differenziale

Dato un campo vettoriale $𝐹:𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}\to {ℝ}^{𝑛}$, si chiama forma differenziale (lineare) su $𝐸$ l’espressione formale:

$$𝜔={𝐹}_{1}d{𝑥}_1+\dots +{𝐹}_{𝑛}d{𝑥}_{𝑛}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝐹}_{𝑖}d{𝑥}_{𝑖}$$

che si scrive anche come il prodotto scalare:

$$𝜔=𝐹\cdot d𝒙$$

Dalla definizione si evince che ad ogni campo vettoriale corrisponde biunivocamente una forma differenziale.

Una forma differenziale $𝜔={\sum }_{𝑖=1}^{𝑛}{𝐹}_{𝑖}d{𝑥}_{𝑖}$ su un insieme $𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ è detta di classe ${𝐶}^0$ se $\forall 𝑖\in \left\{1,\dots ,𝑛\right\},{𝐹}_{𝑖}\in {𝐶}^0\left(𝐸\right)$

Lavoro compiuto da una forza lungo un percorso

Sia $𝐹:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ una forza $𝐹\left(𝑥,𝑦,𝑧\right)=\left({𝐹}_1\left(𝑥,𝑦,𝑧\right),{𝐹}_2\left(𝑥,𝑦,𝑧\right),{𝐹}_3\left(𝑥,𝑦,𝑧\right)\right)$, $𝐹\in {𝐶}^0\left({ℝ}^3\right)$.

Il percorso è dato da $𝛾\left(𝑡\right)=\left({𝛾}_1\left(𝑡\right),{𝛾}_2\left(𝑡\right),{𝛾}_3\left(𝑡\right)\right)$, una curva di classe ${𝐶}^1$.

La forma differenziale $𝜔=𝐹\cdot d𝒙$ rappresenta il lavoro compiuto dalla forza $𝐹$ su un punto materiale che si muove di uno spostamento infinitesimo $\left(d𝑥,d𝑦,d𝑧\right)=\left({𝛾}_1^{\prime }\left(𝑡\right)d𝑡,{𝛾}_2^{\prime }\left(𝑡\right)d𝑡,{𝛾}_3^{\prime }\left(𝑡\right)d𝑡\right)$ lungo la curva $𝛾$.

Il lavoro compiuto dalla forza nell’intervallo di tempo infinitesimo $d𝑡$ è dato da:

$$\left(𝐹\left(𝛾\left(𝑡\right)\right)\cdot {𝛾}^{\prime }\left(𝑡\right)\right)d𝑡$$

Integrali curvilinei di II specie

Sia $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to 𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ una curva di classe ${𝐶}^1$ e sia $𝜔=𝐹\cdot d𝒙$ una forma differenziale di classe ${𝐶}^0$ su $𝐸$.

Si definisce integrale curvilineo di II specie di $𝜔$ lungo $𝛾$ il valore:

$${\int }_{𝛾}𝜔={\int }_{𝑎}^{𝑏}𝐹\left(𝛾\left(𝑡\right)\right)\cdot {𝛾}^{\prime }\left(𝑡\right)d𝑡={\int }_{𝑎}^{𝑏}\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝐹}_{𝑖}\left(𝛾\left(𝑡\right)\right){𝛾}_{𝑖}^{\prime }\left(𝑡\right)d𝑡$$

Se $𝛾$ è chiusa, si scrive anche:

$${\oint }_{𝛾}𝜔$$

• L’integrale curvilineo di II specie è lineare.
• L’integrale curvilineo di II specie si estende anche a curve ${𝐶}^1$ a tratti.