Nucleo, immagine e teorema nullità più rango

Nucleo di una funzione lineare

Data una funzione lineare $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉^{'}$ , il nucleo di $𝑓$ è definito come:

ker (𝑓) = {𝒗 | 𝑓 (𝒗) = 𝟎}

$ker (𝑓)$ è un sottospazio di $𝑉$ .

Proprietà equivalenti:

$ker (𝑓) = {𝟎}$
$𝑓$ è iniettiva.
Se ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑘}}$ è linearmente indipendente, allora anche ${𝑓 (𝒗_{1}), \dots, 𝑓 (𝒗_{𝑘})}$ lo è.

Il nucleo di una funzione lineare corrisponde, tramite la mappa delle coordinate, al nucleo della sua matrice rappresentativa.

Immagine di una funzione lineare

Data una funzione lineare $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉^{'}$ , l’immagine di $𝑓$ è l’insieme dei vettori di $𝑉^{'}$ che sono immagini dei vettori di $𝑉$ :

Im (𝑓) = {𝒗^{'} \in 𝑉^{'} | \exists 𝒗 \in 𝑉 | 𝑓 (𝒗) = 𝒗^{'}} \subseteq 𝑉^{'}

$Im (𝑓)$ è un sottospazio di $𝑉^{'}$ .

Se $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉^{'}$ è lineare e suriettiva, allora $Im (𝑓) = 𝑉^{'}$ .

Proprietà equivalenti:

$Im (𝑓) = 𝑉^{'}$ .
$𝑓$ è suriettiva.
Se ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑘}}$ è un sistema di generatori di $𝑉$ , allora ${𝑓 (𝒗_{1}), \dots, 𝑓 (𝒗_{𝑘})}$ è un sistema di generatori di $𝑉^{'}$ .

L’immagine di una funzione lineare corrisponde, tramite la mappa delle coordinate nel codominio, allo spazio generato dalle colonne della sua matrice rappresentativa.

Teorema nullità più rango

Data una funzione lineare $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉^{'}$ con $𝑉$ di dimensione finita:

dim (𝑉) = dim (ker (𝑓)) + dim (Im (𝑓))

Se $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉^{'}$ è un isomorfismo, allora $dim (𝑉) = dim (𝑉^{'})$ .