Circuiti RLC del secondo ordine e reti LTI

Circuiti RLC di 2° ordine a stato 0

Prendiamo un circuito dove a ${𝑡}_0$ viene acceso un generatore di corrente ${𝐼}_{𝑠}$:

┌────┬────┬────┐
I_s  C_1  L_1  R_1
└────┴────┴────┘

Costruiamo il solito sistema:

$$\{\begin{array}{c}𝑉\left(𝑡\right)={𝑉}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)={𝑉}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)={𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{𝑠\left(𝑡\right)}={𝐼}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)+{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)+{𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)\\ {𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)={𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right){𝑅}_1\\ {𝐼}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)={𝐶}_1\frac{d{𝑉}_{{𝐶}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝑉}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)={𝐿}_1\frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)=0\\ {𝑉}_{{𝐶}_1}\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$

Otteniamo una equazione differenziale simile a quella vista nelle lezioni precedenti:

$$\{\begin{array}{c}{𝐼}_{𝑠\left(𝑡\right)}={𝐿}_1{𝐶}_1\frac{d^2{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^2}+\frac{{𝐿}_1}{{𝑅}_1}\frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}+{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)=0\\ \frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)}{d𝑡}=0\end{array}$$

L’analisi ci dice che la soluzione di un’equazione differenziale non omogenea è uguale alla soluzione dell’equazione omogenea corrispondente più una soluzione particolare:

$${𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)={𝐼}_{{𝐿}_1}{\left(𝑡\right)}^{𝐻}+{𝐼}_{{𝐿}_1}{\left(𝑡\right)}^{𝑃}$$

Caso particolare: ${𝐼}_{𝑠\left(𝑡\right)}=𝜃\left(𝑡\right)$

Per $𝑡>{𝑡}_0$:

$$\{\begin{array}{c}{𝐿}_1{𝐶}_1\frac{d^2{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^2}+\frac{{𝐿}_1}{{𝑅}_1}\frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)}{d𝑡}+{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)=1\\ {𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)=0\\ \frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)}{d𝑡}=0\end{array}$$

Riprendiamo l’equazione omogenea vista nell’ultima lezione. In tre casi su quattro (escludendo il caso criticamente smorzato, che ha un’espressione leggermente diversa), la soluzione si può scrivere come:

$${𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)={𝑘}_1{𝑒}^{{𝑥}_1𝑡}+{𝑘}_2{𝑒}^{{𝑥}_2𝑡}$$

Quindi la soluzione della nostra equazione non omogenea sarà:

$$\{\begin{array}{c}{𝐼}_{{𝐿}_1}\left(𝑡\right)=\left({𝑘}_1{𝑒}^{{𝑥}_1𝑡}+{𝑘}_2{𝑒}^{{𝑥}_2𝑡}+1\right)𝜃\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)=0\\ \frac{d{𝐼}_{{𝐿}_1}\left({𝑡}_0\right)}{d𝑡}=0\end{array}$$

Per trovare ${𝑘}_1$ e ${𝑘}_2$ basta sfruttare le uguaglianze fornite dal problema di Cauchy.

Per ${𝑥}_1,{𝑥}_2\in ℝ$ l’andamento della corrente sarà:

Per ${𝑥}_1,{𝑥}_2\in ℂ$ l’andamento della corrente sarà:

Soluzione generale di una rete LTI

Data una rete LTI con un ingresso $𝑥\left(𝑡\right)$ e un’uscita $𝑦\left(𝑡\right)$, sarà sempre possibile scrivere un’equazione differenziale di grado $𝑛$ che mette in relazione le due grandezze. Essa sarà del tipo:

$$\{\begin{array}{c}{\sum }_{𝑖=0}^{𝑛}{𝑎}_{𝑖}\frac{d^{𝑖}𝑦\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^{𝑖}}={\sum }_{{𝑖}^{\prime }=0}^{𝑚}{𝑏}_{{𝑖}^{\prime }}\frac{d^{{𝑖}^{\prime }}𝑥\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^{{𝑖}^{\prime }}}\\ 𝑦\left({𝑡}_0\right)={𝑘}_0\\ ⋮\\ \frac{d^{𝑛-1}𝑦\left({𝑡}_0\right)}{d{𝑡}^{𝑛-1}}={𝑘}_{𝑛-1}\end{array}$$