Matrici ortogonali, isometrie e diagonalizzazione

Complemento ortogonale

Dati $𝑉$ e $𝑆\subseteq 𝑉$, il complemento ortogonale ${𝑆}^{⟂}$ di $𝑆$ è definito come:

$${𝑆}^{⟂}=\left\{𝒗\in 𝑉|𝒗\cdot 𝒔=0,\forall 𝒔\in 𝑆\right\}$$

${𝑆}^{⟂}$ è un sottospazio di $𝑉$.

Se $𝑆\subseteq 𝑉$ allora $dim\left(span\left(𝑆\right)\right)+dim\left({𝑆}^{⟂}\right)=dim\left(𝑉\right)$

Dimostrazione:

Consideriamo $span\left(𝑆\right)$ e una base ortonormale di $span\left(𝑆\right)$: $\left\{{𝒖}_1,\dots ,{𝒖}_{𝑝}\right\}$.

Sia $𝑓:𝑉\to {ℝ}^{𝑝}$ una funzione definita ponendo $𝑓\left(𝒗\right)=\left(𝒗\cdot {𝒖}_1,\dots ,𝒗\cdot {𝒖}_{𝑝}\right)$.

• $𝑓$ è lineare;
• $𝑓$ è suriettiva;

Siccome $\left\{𝑓\left({𝒖}_1\right),\dots ,𝑓\left({𝒖}_{𝑝}\right)\right\}=\left\{{𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_{𝑝}\right\}$ è una base canonica di ${ℝ}^{𝑝}$, allora ogni $𝒘\in {ℝ}^{𝑝}$ è nell’immagine di $𝑓$ e quindi $Im\left(𝑓\right)={ℝ}^{𝑝}$. In particolare $dim\left(Im\left(𝑓\right)\right)=𝑝=dim\left(span\left(𝑆\right)\right)$.

$$ker\left(𝑓\right)=\left\{𝒗\in 𝑉|𝑓\left(𝒗\right)=0\right\}={𝑆}^{⟂}$$

Allora, per il teorema della nullità più rango:

$$dim\left(𝑉\right)=dim\left(ker\left(𝑓\right)\right)+dim\left(Im\left(𝑓\right)\right)=dim\left({𝑆}^{⟂}\right)+dim\left(span\left(𝑆\right)\right)$$

Matrici ortogonali

Una matrice quadrata $𝑨\in {𝕄}_{𝑛,𝑛}\left(ℝ\right)$ è detta ortogonale se è invertibile e se ${𝑨}^{-1}={𝑨}^{𝑇}$.

L’insieme delle matrici ortogonali si definisce come:

$${𝑂}_{𝑛,𝑛}\left(ℝ\right)=\left\{𝑨\in {𝕄}_{𝑛,𝑛}\left(ℝ\right)|𝑨{𝑨}^{𝑇}={𝑨}^{𝑇}𝑨={𝑰}_{𝑛}\right\}$$

Se $𝑨\in {𝑂}_{𝑛,𝑛}\left(ℝ\right)$:

• $det\left(𝑨\right)=\pm 1$ (per la definizione di ${𝑂}_{𝑛,𝑛}\left(ℝ\right)$, $det\left(𝑨{𝑨}^{𝑇}\right)=det\left({𝑰}_{𝑛}\right)=det\left(𝑨\right)det\left({𝑨}^{𝑇}\right)={\left(det\left(𝑨\right)\right)}^2$ quindi ${\left(det\left(𝑨\right)\right)}^2=1$).
• Le colonne di $𝑨$ sono una base ortonormale di ${ℝ}^{𝑛}$ rispetto al prodotto scalare canonico.

Isometrie

Dato $𝑉$ uno spazio vettoriale euclideo, una funzione lineare biunivoca $𝑓:𝑉\to 𝑉$ è detta isometria se:

$$\forall 𝒗,𝒘\in 𝑉,𝒗\cdot 𝒘=𝑓\left(𝒗\right)\cdot 𝑓\left(𝒘\right)$$

Se $𝑓$ è un’isometria:

• $\Vert 𝒗\Vert =\Vert 𝑓\left(𝒗\right)\Vert$
• $𝑑\left(𝒗,𝒘\right)=𝑑\left(𝑓\left(𝒗\right),𝑓\left(𝒘\right)\right)$
• la matrice rappresentativa di $𝑓$ rispetto a una base ortonormale è ortogonale;

Esempio:

$𝑓:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ definita mandando $\left(𝑥,𝑦\right)\in {ℝ}^2$ in un punto a pari distanza dall’origine, ruotato di un angolo $𝛼$ in senso antiorario.

Sia $\mathrm{ℬ︀}=\left\{\left(1,0\right),\left(0,1\right)\right\}$ la base canonica ortonormale di ${ℝ}^2$ e ${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)=\left[\begin{array}{cc}cos\left(𝛼\right)& -sin\left(𝛼\right)\\ sin\left(𝛼\right)& cos\left(𝛼\right)\end{array}\right]$ la matrice rappresentativa di $𝑓$.

Verifichiamo se ${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)$ è ortogonale.

• è invertibile: $det\left(𝑴\right)={\left(cos\left(𝛼\right)\right)}^2+{\left(sin\left(𝛼\right)\right)}^2=1$
• $𝑴{𝑴}^{𝑇}={𝑴}^{𝑇}𝑴={𝑰}_{𝑛}$

Diagonalizzabilità

Matrici simili

Due matrici $𝑨,𝑩\in {𝕄}_{𝑛,𝑛}\left(ℝ\right)$ sono simili se esiste una matrice invertibile $𝑪\in {𝕄}_{𝑛,𝑛}\left(ℝ\right)$ tale che:

$$𝑨={𝑪}^{-1}𝑩𝑪$$

Esempio: due matrici rappresentative di uno stesso endomorfismo su basi diverse (${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{𝒜︀}}\left(𝑓\right)$ e ${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)$) sono simili.

Endomorfismo diagonalizzabile

Un endomorfismo $𝑓:𝑉\to 𝑉$ è detto diagonalizzabile se:

$$\exists \mathrm{ℬ︀}\text{base di}𝑉|{𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)\text{è diagonale}$$

Note

Una matrice è diagonale se gli elementi al di fuori della diagonale principale sono tutti nulli.

Se $𝑓:𝑉\to 𝑉$ è diagonalizzabile e $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑛}\right\}$ è una base di $𝑉$ tale che ${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)$ è diagonale, allora:

$$\begin{array}{c}𝑓\left({𝒃}_1\right)={𝜆}_1{𝒃}_1+\dots +0{𝒃}_{𝑛}\\ ⋮\\ 𝑓\left({𝒃}_{𝑛}\right)=0{𝒃}_1+\dots +{𝜆}_{𝑛}{𝒃}_{𝑛}\end{array}$$

ossia:

$$𝑓\left({𝒃}_{𝑖}\right)={𝜆}_{𝑖}{𝒃}_{𝑖}$$