Integrali e area di superfici regolari

Integrali di superficie

Dati:

• $𝑆\subseteq {ℝ}^3$ una superficie regolare;
• $𝜎:\overline{𝐷}\subseteq {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ una sua parametrizzazione;
• $𝑄=\left[{𝑢}_0,{𝑢}_0+d𝑢\right]\times \left[{𝑣}_0,{𝑣}_0+d𝑣\right]$ con $\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\in 𝐷$;

Essendo $𝜎\in {𝐶}^1$ e differenziabile nel punto $\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\in 𝐷$, possiamo approssimarla con la seguente espressione:

$$𝜎\left(𝑢,𝑣\right)=𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+d𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\left(𝑢-{𝑢}_0,𝑣-{𝑣}_0\right)+𝑜\left(\Vert \left(𝑢-{𝑢}_0,𝑣-{𝑣}_0\right)\Vert \right)$$

In un piccolo intervallo si può considerare l’errore trascurabile. Pertanto, $area\left(𝜎\left(𝑄\right)\right)=area\left(\widetilde{𝑄}\right)$, dove:

$$\widetilde{𝑄}=𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+𝜆{𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)+𝜇{𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$$

con $0\le 𝜆\le d𝑢$ e $0\le 𝜇\le d𝑣$.

Questo definisce un parallelogramma con vertice $𝜎\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$ e due vettori $d𝑢{𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$ e $d𝑣{𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)$.

L’elemento infinitesimo di area della superficie, $d𝑆$, è dato dal modulo del prodotto vettoriale dei due vettori che definiscono il parallelogramma:

$$d𝑆=area\left(\widetilde{𝑄}\right)=\Vert {𝜎}_{𝑢}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\times {𝜎}_{𝑣}\left({𝑢}_0,{𝑣}_0\right)\Vert d𝑢d𝑣$$

Area di $𝑆$

Sia $𝐷\subseteq {ℝ}^2$ un insieme misurabile, e supponiamo che $\Vert {𝜎}_{𝑢}\times {𝜎}_{𝑣}\Vert \left(𝑢,𝑣\right)$ sia integrabile su $𝐷$.

L’area di $𝑆$ è definita come il seguente integrale:

$$𝐴\left(𝑆\right)={\iint }_{𝐷}\Vert {𝜎}_{𝑢}\left(𝑢,𝑣\right)\times {𝜎}_{𝑣}\left(𝑢,𝑣\right)\Vert d𝑢d𝑣$$

Integrale di superficie

Sia $𝑓:𝑆\to ℝ$ continua e limitata. L’integrale di superficie di $𝑓$ è il valore:

$${\iint }_{𝑆}𝑓d𝑆={\iint }_{𝐷}𝑓\left(𝜎\left(𝑢,𝑣\right)\right)\Vert {𝜎}_{𝑢}\times {𝜎}_{𝑣}\Vert \left(𝑢,𝑣\right)d𝑢d𝑣$$