Trasformazioni dei segnali e relative statistiche

Manipolazione dei segnali

Traslazione temporale

Introduzione di un anticipo o un ritardo del segnale agendo sull’asse temporale.

• $\mathrm{\Delta }𝑡>0$: introduco un ritardo;
• $\mathrm{\Delta }𝑡<0$: introduco un anticipo;

Riscalamento temporale

Introduzione di una compressione o espansione del segnale agendo sull’asse temporale.

• $0<𝑘<1$: espando il segnale;
• $𝑘>1$: comprimo il segnale;

Se $𝑘$ diventa negativo, allora il segnale viene anche invertito.

Fattore di guadagno

Amplificazione o attenuazione agendo sull’ampiezza del segnale.

• $𝑔>1$: amplifico il segnale;
• $0<𝑔<1$: attenuo il segnale;

Se $𝑔$ diventa negativo, il segnale viene ribaltato.

Integrazione e derivazione

Dato che i segnali sono descrivibili come funzioni, possiamo integrarli e derivarli:

Per le funzioni generalizzate:

• l’integrale di un impulso è un gradino e derivando un gradino si ottiene un impulso;
• derivando un impulso si ottiene un doppietto, ovvero una coppia di impulsi, uno positivo e uno negativo, centrati nell’origine;

Note

Il doppietto è definito come:

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{𝛿}^{\prime }\left(𝑡\right)𝑓\left(𝑡\right)d𝑡=-{\int }_{-\infty }^{+\infty }𝛿\left(𝑡\right){𝑓}^{\prime }\left(𝑡\right)d𝑡=-{𝑓}^{\prime }\left(0\right)$$

Statistiche dei segnali

Solitamente si usa la statistica su segnali di natura aleatoria; tuttavia, è possibile calcolare alcuni valori interessanti anche per segnali deterministici.

Valore medio

Il valore medio di un segnale deterministico in un dato intervallo temporale $\left[{𝑡}_1,{𝑡}_2\right]$ è dato da:

$$⟨𝑥\left(𝑡\right){⟩}_{\left[{𝑡}_1,{𝑡}_2\right]}=\frac{1}{{𝑡}_2-{𝑡}_1}{\int }_{{𝑡}_1}^{{𝑡}_2}𝑥\left(𝑡\right)d𝑡$$

o su tutto il dominio:

$$\overline{𝑥}=⟨𝑥\left(𝑡\right)⟩=\underset{𝑇\to \infty }{lim}\frac{1}{𝑇}{\int }_{-\frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}}𝑥\left(𝑡\right)d𝑡$$

Tipicamente, un valore medio diverso da $0$ indica che è presente un offset costante nel segnale. In questo caso viene sottratto per ottenere solamente le variazioni.

Valore quadratico medio e varianza

Il valore quadratico medio è definito:

$$\overline{{𝑥}^2}=⟨{𝑥\left(𝑡\right)}^2⟩=\underset{𝑇\to \infty }{lim}\frac{1}{𝑇}{\int }_{-\frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}}{\left(𝑥\left(𝑡\right)\right)}^{2}d𝑡$$

da cui possiamo ricavare la varianza:

$${𝜎}_{𝑥}^2=\overline{{𝑥}^2}-{\overline{𝑥}}^2=\underset{𝑇\to \infty }{lim}\frac{1}{𝑇}{\int }_{-\frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}}{\left(𝑥\left(𝑡\right)-\overline{𝑥}\right)}^{2}d𝑡$$

Una varianza elevata indica variazioni significative nel segnale, tipicamente associate ad un più elevato contenuto informativo.

Energia di un segnale

L’energia di un segnale è definita come:

$${𝐸}_{𝑥}={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left(𝑥\left(𝑡\right)\right)}^{2}d𝑡$$

Caution

Per i segnali periodici non ha senso calcolarla, dato che ${𝐸}_{𝑥}$ assume un valore infinito.

I segnali per cui ${𝐸}_{𝑥}$ ha valore finito sono detti segnali di energia.

Potenza di un segnale

La potenza ${𝑃}_{𝑥}$ di un segnale è la misura della sua energia sul tempo. La formula coincide con quella del valore quadratico medio.

La potenza di un segnale di energia è sempre nulla; i segnali per cui ${𝑃}_{𝑥}$ non è nulla sono detti segnali di potenza.

Un segnale può essere o di energia o di potenza, mai entrambi (in generale esistono anche segnali che non sono né l’uno né l’altro, ad esempio un segnale che cresce senza limiti nel tempo).

Cross-correlazione

La cross-correlazione è utile per capire quanto due segnali siano simili tra loro.

Dobbiamo distinguere tra segnali di energia e di potenza:

• per due segnali di energia $𝑥\left(𝑡\right)$ e $𝑦\left(𝑡\right)$:

  $${\mathrm{ℛ︀}}_{𝑥,𝑦}\left(𝜏\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }𝑥\left(𝑡\right)𝑦\left(𝑡+𝜏\right)d𝑡$$

• per due segnali di potenza $𝑥\left(𝑡\right)$ e $𝑦\left(𝑡\right)$ (su un intervallo lungo $𝑇$):

  $${\mathrm{ℛ︀}}_{𝑥,𝑦}\left(𝜏\right)=\underset{𝑇\to \infty }{lim}\frac{1}{𝑇}{\int }_{-\frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}}𝑥\left(𝑡\right)𝑦\left(𝑡+𝜏\right)d𝑡$$

In entrambi i casi lascio $𝑥$ fermo e faccio scorrere $𝑦$ di una quantità $𝜏$.

Si usa per verificare la somiglianza perché se i segnali sono allineati, il valore dell’integrale sarà alto e positivo (i picchi e le valli hanno lo stesso segno, quindi la moltiplicazione dà sempre valori positivi).

Autocorrelazione: si usa per misurare quanto un segnale è simile a se stesso in altri istanti. Il valore a $𝜏=0$ è il massimo (corrisponde alla potenza o energia del segnale) e decade man mano che $\left|𝜏\right|$ aumenta.

Si dice che un segnale ha meno ‘memoria’ quando la sua autocorrelazione decade più rapidamente man mano che ci si allontana da $𝜏=0$.