Serie di Fourier, spettro e fenomeno di Gibbs

Serie di Fourier

La serie può essere applicata solo a segnali periodici e solo se il segnale è integrabile sul periodo e quell’integrale ha valore finito. I segnali reali usati in questo corso verificano questa condizione.

Le frequenze delle sinusoidi non sono arbitrarie: si ricavano dalla frequenza fondamentale. L’unica cosa che bisogna calcolare sono i valori dei coefficienti $𝑎_{𝑘}$ e $𝜃_{𝑘}$ .

Forma esponenziale della serie di Fourier

La serie di Fourier si può riscrivere sfruttando la formula di Eulero:

𝑥 (𝑡) = 𝑎_{0} + \sum_{𝑘 = 1}^{+ \infty} \frac{𝑎_{𝑘}}{2} 𝑒^{𝑗 𝜃_{𝑘}} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡} + \sum_{𝑘 = - \infty}^{- 1} \frac{𝑎_{- 𝑘}}{2} 𝑒^{- 𝑗 𝜃_{- 𝑘}} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡}

e in forma più compatta:

𝑥 (𝑡) = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑋_{𝑘} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡}

𝑋_{𝑘} = {\begin{cases} \frac{𝑎_{𝑘}}{2} 𝑒^{𝑗 𝜃_{𝑘}} & 𝑘 > 0 \\ \frac{𝑎_{- 𝑘}}{2} 𝑒^{- 𝑗 𝜃_{- 𝑘}} & 𝑘 < 0 \\ 𝑎_{0} & 𝑘 = 0 \end{cases}

Calcolo dei coefficienti

Il coefficiente $𝑘$ -esimo della serie è dato dalla seguente espressione:

𝑋_{𝑘} = 𝑓_{0} \int_{- \frac{𝑇_{0}}{2}}^{\frac{𝑇_{0}}{2}} 𝑥 (𝑡) 𝑒^{- 𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡} d 𝑡

La formula equivale alla cross-correlazione tra il segnale $𝑥 (𝑡)$ e la sinusoide $𝑒^{- 𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡}$ sul periodo $𝑇_{0}$ (entrambi i segnali sono periodici e quindi di potenza). Con $𝑘 = 0$ otteniamo il valor medio di $𝑥 (𝑡)$ .

Il coefficiente $𝑋_{𝑘}$ ci dice quanto l’armonica $𝑘$ -esima è presente nel segnale $𝑥 (𝑡)$ . Se $𝑥 (𝑡)$ non contiene quella frequenza, esso sarà nullo, altrimenti fornirà modulo e fase della corrispondente armonica.

La conoscenza dei coefficienti è sufficiente per ricostruire il segnale in maniera perfetta. Per questo possiamo usarla come una rappresentazione alternativa: $𝑥 (𝑡) \leftrightarrow 𝑋_{𝑘}$ .

Frequenze negative

Eseguendo i calcoli, talvolta compaiono frequenze negative. In fisica non esistono: sono solo anomalie necessarie per la correttezza dei calcoli matematici.

Proprietà della serie

Simmetria Hermitiana: $𝑋_{𝑘} = \overset{̅}{𝑋_{- 𝑘}}$
Calcolando solo i coefficienti della parte positiva dello spettro, ottengo anche quella negativa per simmetria (simmetria Hermitiana).
Linearità: dati due segnali $𝑥 (𝑡)$ e $𝑦 (𝑡)$ periodici, avremo:
$𝑧 (𝑡) = 𝑎 𝑥 (𝑡) + 𝑏 𝑦 (𝑡) \Rightarrow 𝑍_{𝑛} = 𝑎 𝑋_{𝑛} + 𝑏 𝑌_{𝑛}$
Dato un segnale periodico pari, i coefficienti saranno reali, per cui la serie sarà costituita solamente da coseni.
$𝑋_{𝑘} = 2 𝑓_{0} \int_{0}^{\frac{𝑇_{0}}{2}} 𝑥 (𝑡) cos (2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡) d 𝑡$ $𝑥 (𝑡) = 𝑎_{0} + \sum_{𝑘 = 1}^{+ \infty} 𝑎_{𝑘} cos (2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡)$
Dato un segnale periodico dispari, i coefficienti saranno immaginari, per cui la serie sarà costituita solamente da seni.
$𝑋_{𝑘} = - 2 𝑗 𝑓_{0} \int_{0}^{\frac{𝑇_{0}}{2}} 𝑥 (𝑡) sin (2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡) d 𝑡$ $𝑥 (𝑡) = \sum_{𝑘 = 1}^{+ \infty} 𝑎_{𝑘} sin (2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡)$
Il coefficiente $𝑎_{0}$ sarà nullo perché il valore medio di un segnale dispari è $0$ .

Segnale alternato

Si dice segnale alternato un segnale periodico di periodo $𝑇$ e antisimmetrico sul periodo, ovvero:

𝑥 (𝑡) = - 𝑥 (𝑡 + \frac{𝑇}{2})

I segnali alternati non sono necessariamente dispari, ma hanno valor medio nullo.
La serie di Fourier di un segnale alternato ha solo i coefficienti dispari.

Spettro di un segnale

La rappresentazione dei coefficienti nel dominio delle frequenze armoniche viene detta spettro.

Ce ne sono due tipi:

spettro di ampiezza: mostra quanto è ampia l’armonica a una certa frequenza;
spettro di fase: mostra quanto è sfasata l’armonica a una certa frequenza;

Considerazioni generali

I segnali che presentano variazioni più brusche (come le onde quadrate) hanno rappresentazioni spettrali più ampie (le frequenze distanti da $𝑓_{0}$ contribuiscono di più).
Segnali con periodi minori implicano frequenze più alte.
Se sono presenti discontinuità nel segnale, lo spettro contiene infinite armoniche (i cui valori tendono a 0, quindi nella realtà si possono ignorare).

Fenomeno di Gibbs

Per rappresentare qualsiasi tipo di segnale nel dominio delle frequenze, servirebbe un’ampiezza di banda infinita. Ciò che succede quando si tronca una serie di Fourier è stato studiato dal fisico statunitense Josiah Willard Gibbs.

Si osserva che il segnale oscilla intorno ai punti di discontinuità (ripple) e presenta sovraelongazioni di ampiezza (overshoot). All’aumentare delle armoniche le oscillazioni si restringono e si concentrano in prossimità del punto di transizione, ma l’ampiezza dell’overshoot non si riduce: tende a un valore costante (circa il 9% del salto).