Teorema di Weierstrass ed estremi vincolati

Teorema di Weierstrass

Problema: Stabilire le condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi assoluti di una funzione e procedere alla loro determinazione.

Sia $𝑓 : 𝐴 \subseteq ℝ^{𝑛} \to ℝ$ e assumiamo che $𝐴$ sia un insieme limitato e chiuso, e che $𝑓$ sia continua su $𝐴$ . Allora esistono ${max}_{𝐴} 𝑓$ e ${min}_{𝐴} 𝑓$ .

Sapendo che esistono massimo e minimo assoluti, essi si trovano in uno o più punti del dominio. Distinguiamo i seguenti casi per un punto generico $𝒙^{*}$ :

$𝒙^{*} \in \dot{𝐴}$ e $\nabla 𝑓 (𝒙^{*}) = 𝟎$ , allora si ricade nei casi trattati nella lezione precedente (punti stazionari interni).
$𝒙^{*} \in \dot{𝐴}$ ma $\nabla 𝑓 (𝒙^{*})$ non esiste, allora $𝒙^{*}$ è definito punto singolare e richiede un’analisi diretta.
$𝒙^{*} \in 𝜕 𝐴$ , il punto è un candidato per un estremo vincolato e richiede un’analisi specifica.

Ricerca di punti di massimo e minimo sulla frontiera del dominio

Gli estremi vincolati di $𝑓$ sono i punti di massimo o di minimo che giacciono sulla frontiera del suo dominio.

Frontiera tramite parametrizzazione

Per semplicità, consideriamo il caso $𝐴 \subseteq ℝ^{2}$ (il discorso si estende a dimensioni superiori con parametrizzazioni più complesse). Si definisce parametrizzazione di $𝜕 𝐴$ una funzione:

𝛾 : [𝑎, 𝑏] \to ℝ^{2}, 𝛾 (𝑡) = (𝛾_{1} (𝑡), 𝛾_{2} (𝑡))

che soddisfa le seguenti condizioni:

$𝛾_{1}, 𝛾_{2} : [𝑎, 𝑏] \to ℝ$ ;
$𝛾_{1}, 𝛾_{2} \in 𝐶^{1} ([𝑎, 𝑏])$ ;
$𝛾 ([𝑎, 𝑏]) = 𝜕 𝐴$ ;

La parametrizzazione è una funzione che, al variare del parametro reale $𝑡 \in [𝑎, 𝑏]$ , ha come immagine la curva che coincide con la frontiera di $𝐴$ .

In questo modo, trovare ${min}_{𝜕 𝐴} 𝑓$ e ${max}_{𝜕 𝐴} 𝑓$ si riduce a trovare ${min}_{[𝑎, 𝑏]} (𝑓 \circ 𝛾)$ e ${max}_{[𝑎, 𝑏]} (𝑓 \circ 𝛾)$ . Poiché $𝛾$ è una funzione di una variabile, si può procedere con le tecniche studiate nel corso di Analisi 1.