Trasformate di derivata, integrale e convoluzione

Altre trasformate notevoli

Trasformata di un impulso traslato

Si può trovare la trasformata di un impulso ritardato di $𝑡_{𝑑}$ applicando la proprietà del ritardo:

𝛿 (𝑡 - 𝑡_{𝑑}) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑒^{- 𝑗 2 𝜋 𝑓 𝑡_{𝑑}}

Per la proprietà di dualità, la trasformata di un fasore $𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑓_{0} 𝑡}$ è un impulso traslato in frequenza: $𝛿 (𝑓 - 𝑓_{0})$ .

Trasformata di un treno di impulsi

Il treno di impulsi è formato da una successione di impulsi traslati a distanza $𝑇$ :

𝑥 (𝑡) = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝛿 (𝑡 - 𝑛 𝑇)

Possiamo ottenere la serie di Fourier dato che la funzione è periodica:

𝑋_{𝑘} = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝛿 (𝑡) d 𝑡 = \frac{1}{𝑇}

\begin{aligned} 𝑋 (𝑓) & = ℱ︀ {\sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{𝑇} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 \frac{𝑛}{𝑇} 𝑡}} \\ = \frac{1}{𝑇} \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} ℱ︀ {𝑒^{𝑗 2 𝜋 \frac{𝑛}{𝑇} 𝑡}} \\ = \frac{1}{𝑇} \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝛿 (𝑓 - \frac{𝑛}{𝑇}) \end{aligned}

La trasformata del treno di impulsi è a sua volta un treno di impulsi. Tanto più vicini saranno nel dominio del tempo, tanto più distanti saranno in quello della frequenza.

Trasformata della $sinc (𝑡 𝑇)$

Sappiamo già che $𝐴 rect (\frac{𝑡}{𝑇}) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝐴 𝑇 sinc (𝑓 𝑇)$ .

Quindi per la dualità:

𝐴 sinc (𝑡 𝑇) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} \frac{𝐴}{𝑇} rect (\frac{𝑓}{𝑇})

Trasformata della derivata

𝑥 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) \Rightarrow \frac{𝑑}{d 𝑡} 𝑥 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑗 2 𝜋 𝑓 𝑋 (𝑓)

Trasformata dell’integrale

𝑥 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) \Rightarrow \int_{- \infty}^{𝑡} 𝑥 (𝜏) d 𝜏 \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} \frac{𝑋 (𝑓)}{𝑗 2 𝜋 𝑓}

Si nota che a frequenza 0 c’è una singolarità:

se $𝑋 (0) = 0$ non ci sono problemi;
se $𝑋 (0) \neq 0$ , allora bisogna aggiungere un termine costante al risultato:
$\int_{- \infty}^{𝑡} 𝑥 (𝜏) d 𝜏 \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} \frac{𝑋 (𝑓)}{𝑗 2 𝜋 𝑓} + \frac{𝑋 (0)}{2} 𝛿 (𝑓)$

Trasformata della convoluzione

Si dimostra che la trasformata di una convoluzione $𝑥 (𝑡) * 𝑦 (𝑡)$ diventa il prodotto $𝑋 (𝑓) 𝑌 (𝑓)$ .

Analogamente, il prodotto tra 2 segnali ha come trasformata la convoluzione delle trasformate.