Integrali doppi su rettangoli e teorema di Fubini

Integrali per funzioni di più variabili

Tratteremo gli integrali di funzioni $𝑓:𝐴\subseteq {ℝ}^{𝑛}\to ℝ$, per $𝑛=2,3$, noti anche come integrali multipli.

Integrale doppio su un rettangolo

Consideriamo un rettangolo $𝑄=\left[𝑎,𝑏\right]\times \left[𝑐,𝑑\right]$ e una funzione $𝑓:𝑄\to ℝ$ limitata, ovvero tale che ${sup}_{𝑄}𝑓$ esista.

Si definisce suddivisione dell’intervallo $\left[𝑎,𝑏\right]$ un insieme finito di punti della retta reale $\left\{{𝑥}_0,\dots ,{𝑥}_{𝑚}\right\}$ tale che $𝑎={𝑥}_0<\dots <{𝑥}_{𝑚}=𝑏$.

Analogamente, si definisce suddivisione dell’intervallo $\left[𝑐,𝑑\right]$ un insieme finito di punti $\left\{{𝑦}_0,\dots ,{𝑦}_{𝑛}\right\}$ tale che $𝑐={𝑦}_0<\dots <{𝑦}_{𝑛}=𝑑$.

Una suddivisione di $𝑄$ in ${ℝ}^2$ è definita dalla coppia $\left({𝐷}_1,{𝐷}_2\right)$, dove ${𝐷}_1$ e ${𝐷}_2$ sono le suddivisioni di $\left[𝑎,𝑏\right]$ e $\left[𝑐,𝑑\right]$ rispettivamente.

Somma superiore e inferiore

La somma superiore (o inferiore) di $𝑓$ rispetto alla suddivisione $𝐷$ di $𝑄$ è definita come il numero reale:

$$𝑆\left(𝑓,𝐷\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑚}\sum _{𝑗=1}^{𝑛}{𝑀}_{𝑖,𝑗}area\left({𝑄}_{𝑖,𝑗}\right)$$

o rispettivamente:

$$𝑠\left(𝑓,𝐷\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑚}\sum _{𝑗=1}^{𝑛}{𝑚}_{𝑖,𝑗}area\left({𝑄}_{𝑖,𝑗}\right)$$

Poiché $𝑓$ è limitata, ${𝑀}_{𝑖,𝑗}$ e ${𝑚}_{𝑖,𝑗}$ sono numeri reali (non infiniti) che corrispondono, rispettivamente, all’estremo superiore e inferiore di $𝑓$ nell’intervallo definito dalla suddivisione.

Proprietà

• Se $𝑓\ge 0$, le somme superiore e inferiore rappresentano il volume di un parallelepipedo di base ${𝑄}_{𝑖,𝑗}$ e altezza ${𝑀}_{𝑖,𝑗}$ o ${𝑚}_{𝑖,𝑗}$.

• Per ogni suddivisione $𝐷$ di $𝑄$:

  $$area\left(𝑄\right)\underset{𝑄}{inf}𝑓\le 𝑠\left(𝑓,𝐷\right)\le 𝑆\left(𝑓,𝐷\right)\le area\left(𝑄\right)\underset{𝑄}{sup}𝑓$$

Funzione integrabile

Una funzione $𝑓$ si dice integrabile secondo Riemann in $𝑄$ ($𝑓\in 𝑅\left(𝑄\right)$) se:

$$𝐿=sup\left\{𝑠\left(𝑓,𝐷\right)\right\}=inf\left\{𝑆\left(𝑓,𝐷\right)\right\}$$

ovvero se le somme superiore e inferiore coincidono.

Il numero reale $𝐿$ è chiamato integrale doppio di $𝑓$ e si denota:

$$𝐿={\iint }_{𝑄}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)d𝑥d𝑦={\iint }_{𝑄}𝑓d𝑄={\int }_{𝑄}𝑓d𝑄$$

Condizioni che assicurano $𝑓\in 𝑅\left(𝑄\right)$

• Se $𝑓\in {𝐶}^0\left(𝑄\right)$, allora $𝑓\in 𝑅\left(𝑄\right)$.
• Se $𝑓$ è limitata su $𝑄$ e continua quasi ovunque (l’insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla), allora $𝑓\in 𝑅\left(𝑄\right)$ (criterio di Lebesgue).

Note

Un esempio di funzione per cui l’integrale non esiste è la funzione di Dirichlet (che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali, che quindi è discontinua in ogni suo punto), il cui insieme di discontinuità ha misura non nulla.

Proprietà dell’integrale

• Linearità: $\iint \left(𝛼𝑓+𝛽𝑔\right)=𝛼\iint 𝑓+𝛽\iint 𝑔$.
• Monotonia: Se $𝑔\le 𝑓$ su $𝑄$, allora ${\iint }_{𝑄}𝑔\le {\iint }_{𝑄}𝑓$.
• Se $\left|𝑓\right|\in 𝑅\left(𝑄\right)$, allora $\left|{\iint }_{𝑄}𝑓\right|\le {\iint }_{𝑄}\left|𝑓\right|$.
• Teorema del valor medio: ${inf}_{𝑄}𝑓\le \frac{1}{area}\left(𝑄\right){\iint }_{𝑄}𝑓\le {sup}_{𝑄}𝑓$. Se $𝑓\in {𝐶}^0\left(𝑄\right)$, esiste ${𝒑}_0\in 𝑄$ tale che $𝑓\left({𝒑}_0\right)=\frac{1}{area}\left(𝑄\right){\iint }_{𝑄}𝑓$.

Formula di riduzione sui rettangoli (Teorema di Fubini)

Siano $𝑄$ il rettangolo $\left[𝑎,𝑏\right]\times \left[𝑐,𝑑\right]$ e $𝑓$ una funzione integrabile su $𝑄$. Inoltre assumiamo che per ogni $𝑥\in \left[𝑎,𝑏\right]$, la funzione $𝑓$ sia integrabile come ${\int }_{𝑐}^{𝑑}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)d𝑦$. Allora:

$${\iint }_{𝑄}𝑓={\int }_{𝑎}^{𝑏}\left({\int }_{𝑐}^{𝑑}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)d𝑦\right)d𝑥$$

In particolare, per funzioni $𝑓\in {𝐶}^0\left(𝑄\right)$, vale:

$$\iint 𝑓={\int }_{𝑎}^{𝑏}\left({\int }_{𝑐}^{𝑑}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)d𝑦\right)d𝑥={\int }_{𝑐}^{𝑑}\left({\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)d𝑥\right)d𝑦$$