Distanza euclidea, insiemi e limiti in spazi reali

Distanza euclidea in $ℝ^{𝑛}$

La distanza euclidea tra due punti è una funzione $𝑑 : ℝ^{𝑛} \times ℝ^{𝑛} \to [0, + \infty)$ definita:

𝑑 (𝒑, 𝒒) = \sqrt{\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} {(𝑞_{𝑖} - 𝑝_{𝑖})}^{2}}

Intorno

Un intorno di raggio $𝑟$ di un punto $𝒑_{0}$ è la palla aperta di centro $𝒑_{0}$ e raggio $𝑟$ :

𝐵 (𝒑_{0}, 𝑟) = {𝒑 \in ℝ^{𝑛} | 𝑑 (𝒑, 𝒑_{0}) < 𝑟}

Punto di frontiera

Preso un insieme $𝐴 \subseteq ℝ^{𝑛}$ , un punto $𝒑 \in ℝ^{𝑛}$ si dice punto di frontiera di $𝐴$ se:

\forall 𝑟 > 0, 𝐵 (𝒑, 𝑟) \cap 𝐴 \neq \emptyset \land 𝐵 (𝒑, 𝑟) \cap (ℝ^{𝑛} ∖ 𝐴) \neq \emptyset

L’insieme dei punti di frontiera di $𝐴$ è detto frontiera di $𝐴$ . Si denota con $𝜕 𝐴$ .

Insieme aperto e chiuso

Un insieme è detto chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera (cioè, $𝜕 𝐴 \subseteq 𝐴$ ). Viceversa, un insieme è detto aperto se ogni suo punto è un punto interno, ovvero, se per ogni $𝒑 \in 𝐴$ esiste un intorno $𝐵 (𝒑, 𝑟)$ tale che $𝐵 (𝒑, 𝑟) \subseteq 𝐴$ .

Insieme limitato

Un insieme è detto limitato se $\exists 𝑟 > 0 | 𝐴 \subseteq 𝐵 (𝟎, 𝑟)$ , ovvero se esiste un raggio abbastanza grande tale che una palla con centro nell’origine contenga tutto l’insieme $𝐴$ .

Parte interna di un insieme

L’insieme dei punti interni di $𝐴$ è dato da tutti i punti di $𝐴$ esclusi i punti di frontiera. Si denota con $\dot{𝐴}$ .

Punto isolato di un insieme

$𝒑 \in 𝐴$ si dice punto isolato di $𝐴$ se $𝒑$ non è un punto di accumulazione, cioè se:

\exists 𝑟 > 0 | 𝐵 (𝒑, 𝑟) \cap 𝐴 = {𝒑}

Limite di una funzione in $𝑛$ variabili.

Sia $𝑓 : 𝐴 \subseteq ℝ^{𝑛} \to ℝ$ e sia $𝒑_{0} \in ℝ^{𝑛}$ punto di accumulazione di $𝐴$ . Si dice che:

lim_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓 (𝒑) = 𝐿 \Leftrightarrow \forall 𝜀 > 0, \exists 𝛿 > 0 | \forall 𝒑 \in 𝐵 (𝒑_{0}, 𝛿) \cap (𝐴 ∖ {𝒑_{0}}), | 𝑓 (𝒑) - 𝐿 | < 𝜀

In pratica, questa condizione significa che per ogni tolleranza $𝜀 > 0$ , esiste un raggio $𝛿 > 0$ tale che se $𝒑$ è abbastanza vicino a $𝒑_{0}$ (cioè $𝒑 \in 𝐵 (𝒑_{0}, 𝛿) \cap (𝐴 ∖ {𝒑_{0}})$ ), allora la distanza tra $𝑓 (𝒑)$ e $𝐿$ è minore di $𝜀$ (cioè $| 𝑓 (𝒑) - 𝐿 | < 𝜀$ ). Se non esiste tale $𝛿$ per un dato $𝜀$ , allora il limite non esiste.

La relazione tra $𝛿$ e $𝜀$ non è fissa, ma dipende dalla funzione considerata:

$𝜀$ indica la tolleranza che vogliamo sull’output della funzione. È il parametro che ‘comanda’: a seconda del suo valore $𝛿$ può cambiare oppure no.
$𝛿$ indica quanto vicino all’input si sta considerando. In generale al diminuire di $𝜀$ anche $𝛿$ rimpicciolisce, infatti a volte si scrive $𝛿 (𝜀)$ .

Calcolo dei limiti

Unicità del limite

Sia $𝑓 : 𝐴 \subseteq ℝ^{𝑛} \to ℝ$ e sia $𝒑_{0}$ punto di accumulazione per $𝐴$ , se $\exists {lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓 (𝒑) = 𝐿$ , allora $𝐿$ è unico.

Se il limite di una funzione $𝑓$ differisce quando ci si avvicina a $𝒑_{0}$ lungo due direzioni diverse, allora il limite non esiste.

Operazioni elementari

Dati ${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓 (𝒑) = 𝐿$ e ${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑔 (𝒑) = 𝑀$ :

${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓 (𝒑) + 𝑔 (𝒑) = 𝐿 + 𝑀$
${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓 (𝒑) 𝑔 (𝒑) = 𝐿 𝑀$
Se $\forall 𝒑 \in 𝐴 ∖ {𝒑_{0}}, 𝑔 (𝒑) \neq 0$ e $𝑀 \neq 0$ , allora ${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} \frac{𝑓 (𝒑)}{𝑔 (𝒑)} = \frac{𝐿}{𝑀}$

Composizione di funzioni

Sia $𝐹 : ℝ \to ℝ$ una funzione continua e sia $ℎ (𝒑) = 𝐹 (𝑓 (𝒑))$ , allora ${lim}_{{𝒑 \to 𝒑_{0}}} ℎ (𝒑) = 𝐹 (𝐿)$

Teorema del confronto

Siano $𝑓, 𝑔, ℎ : 𝐴 \subseteq ℝ^{𝑛} \to ℝ$ e supponiamo che $\forall 𝒑 \in 𝐴 ∖ {𝒑_{0}}, 𝑓 (𝒑) \leq 𝑔 (𝒑) \leq ℎ (𝒑)$ e che ${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓 (𝒑) = {lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} ℎ (𝒑) = 𝐿$ , allora ${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑔 (𝒑) = 𝐿$ .

Limite lungo direzioni

Sia $𝑓 : 𝐴 \subseteq ℝ^{𝑛} \to ℝ$ e $𝒑_{0} \in 𝐴$ un punto di accumulazione di $𝐴$ . Allora sono equivalenti:

Per ogni sottoinsieme $𝐵 \subseteq 𝐴$ per cui $𝒑_{0}$ è un punto di accumulazione per $𝐵$ , il limite di $𝑓$ lungo $𝐵$ esiste ed è uguale a uno stesso valore $𝐿 \in ℝ$ , cioè ${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓_{| 𝐵} (𝒑) = 𝐿$ .
Esiste un limite generale per $𝑓$ : ${lim}_{𝒑 \to 𝒑_{0}} 𝑓 (𝑝) = 𝐿$ .

In questo caso, l’insieme $𝐵$ rappresenta i punti che tendono a $𝒑_{0}$ lungo una direzione specifica.