Forme differenziali esatte, chiuse e integrali

Integrale curvilineo di II specie per curve equivalenti

Siano $𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ un insieme, $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to 𝐸$ e $\widetilde{𝛾}:\left[𝛼,𝛽\right]\to 𝐸$ curve equivalenti di classe ${𝐶}^1$, e $𝜔$ una forma differenziale di classe ${𝐶}^0\left(𝐸\right)$.

• Se $𝛾$ e $\widetilde{𝛾}$ hanno lo stesso verso, allora ${\int }_{𝛾}𝜔={\int }_{\widetilde{𝛾}}𝜔$.
• Se $𝛾$ e $\widetilde{𝛾}$ hanno verso opposto, allora ${\int }_{𝛾}𝜔=-{\int }_{\widetilde{𝛾}}𝜔$.

Forme differenziali esatte (o campi vettoriali conservativi)

Sia $𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ un insieme aperto e sia $𝑈:𝐸\to ℝ$ una funzione di classe ${𝐶}^1\left(𝐸\right)$.

Possiamo associare ad $𝑈$ la forma differenziale:

$$d𝑈=\nabla 𝑈\cdot d𝒙=\frac{𝜕𝑈}{𝜕{𝑥}_1}d{𝑥}_1+\dots +\frac{𝜕𝑈}{𝜕{𝑥}_{𝑛}}d{𝑥}_{𝑛}$$

Note

Questa forma è anche denominata differenziale di $𝑈$, poiché coincide con la notazione standard per il differenziale di una funzione scalare.

Sia $𝜔=𝐹\cdot d𝒙$, dove $𝐹:𝐸\to {ℝ}^{𝑛}$ è un campo vettoriale di classe ${𝐶}^0\left(𝐸\right)$. La forma differenziale $𝜔$ è esatta in $𝐸$ se esiste una funzione $𝑈$ tale che:

$$\forall 𝒙\in 𝐸,\nabla 𝑈\left(𝒙\right)=𝐹\left(𝒙\right)$$

o, in forma differenziale:

$$d𝑈=𝜔$$

In questo caso, $𝑈$ è detta funzione potenziale (o primitiva) di $𝜔$ (o di $𝐹$) in $𝐸$.

Integrale per forme esatte

Sia $𝜔=𝐹\cdot d𝒙$ una forma differenziale continua ed esatta su $𝐸$. Allora, per ogni curva $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to 𝐸$ di classe ${𝐶}^1$ a tratti, vale il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$${\int }_{𝛾}𝜔=𝑈\left(𝛾\left(𝑏\right)\right)-𝑈\left(𝛾\left(𝑎\right)\right)$$

dove $𝑈$ è una funzione potenziale di $𝜔$.

Dalla definizione di forma esatta, segue che se $𝜔$ è una forma esatta su $𝐸$, allora per ogni curva chiusa $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right]\to 𝐸$ di classe ${𝐶}^1$ a tratti:

$${\oint }_{𝛾}𝜔=0$$

Forme differenziali chiuse

Definiamo ora il criterio per verificare l’ipotesi di esattezza di una forma differenziale.

Sia $𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ un insieme aperto e sia $𝜔=𝐹\cdot d𝒙$, dove $𝐹:𝐸\to {ℝ}^{𝑛}$ è un campo vettoriale con componenti ${𝐹}_{𝑖}\in {𝐶}^1\left(𝐸\right)$.

La forma $𝜔$ è chiusa in $𝐸$ se è verificata la condizione di Jacobi (o regola delle derivate in croce):

$$\forall 𝑖,𝑗\in \left\{1,\dots ,𝑛\right\},\frac{𝜕{𝐹}_{𝑖}}{𝜕{𝑥}_{𝑗}}\left(𝒙\right)=\frac{𝜕{𝐹}_{𝑗}}{𝜕{𝑥}_{𝑖}}\left(𝒙\right)$$

Se $𝜔\in {𝐶}^1\left(𝐸\right)$, si ha la seguente implicazione:

$$𝜔\text{esatta in}𝐸\Rightarrow 𝜔\text{chiusa in}𝐸$$

Condizione sufficiente per l’esattezza di una forma differenziale

Sia $𝐸\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ un insieme aperto e convesso.

Tip

Un insieme è convesso se, per ogni coppia di punti $𝑝$ e $𝑞$ appartenenti a $𝐸$, il segmento che li unisce è interamente contenuto in $𝐸$:

$$\forall 𝑝,𝑞\in 𝐸,\left[𝑝,𝑞\right]=\left\{𝑡𝑝+\left(1-𝑡\right)𝑞|0\le 𝑡\le 1\right\}\subset 𝐸$$

Se $𝜔\in {𝐶}^1\left(𝐸\right)$, allora la condizione di chiusura è necessaria e sufficiente per l’esattezza:

$$𝜔\text{esatta in}𝐸\iff 𝜔\text{chiusa in}𝐸$$