Basi vettoriali: dimensione e completamento

Basi di spazi vettoriali

Dato uno spazio vettoriale $𝑉$ finitamente generato, un insieme di vettori $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑛}\right\}$ è una base di $𝑉$ se è un sistema di generatori ed è linearmente indipendente.

Sia $𝑉$ uno spazio vettoriale finitamente generato con $𝑉\ne \left\{\mathrm{𝟎}\right\}$; allora $𝑉$ ammette almeno una base.

Esempi:

• ${ℝ}^4$: $\mathrm{ℬ︀}=\left\{\left(1,0,0,0\right),\left(0,1,0,0\right),\left(0,0,1,0\right),\left(0,0,0,1\right)\right\}$
• ${𝕄}_{2,2}\left(ℝ\right)$: $\mathrm{ℬ︀}=\left\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\right\}$
• ${ℝ}_{𝑑}\left[𝑥\right]$: $\mathrm{ℬ︀}=\left\{1,𝑥,\dots ,{𝑥}^{𝑑}\right\}$

Estrazione di una base da un sistema di generatori

Dato un insieme $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}\subset {ℝ}^{𝑛}$ di generatori (con $𝑘\ge 𝑛$):

1. Formiamo la matrice $𝑛\times 𝑘$:

   $$𝑨=\left[\begin{array}{ccc}{𝒗}_1& \dots & {𝒗}_{𝑘}\end{array}\right]$$

2. Riduciamo $𝑨$ a scalini.

3. I vettori corrispondenti alle colonne contenenti i pivot formano una base di ${ℝ}^{𝑛}$.

Dimensione di uno spazio vettoriale

Siano $𝑉$ uno spazio vettoriale, $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑛}\right\}$ una sua base e $𝐴=\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑚}\right\}$ un insieme linearmente indipendente con $𝑚<𝑛$; allora esiste una base di $𝑉$ formata da $𝐴$ e da altri $𝑛-𝑚$ elementi di $\mathrm{ℬ︀}$.

In particolare, ogni base di $𝑉$ ha lo stesso numero di elementi: $𝑛$. Questo numero è detto dimensione di $𝑉$ e si denota con:

$$dim\left(𝑉\right)$$

Se $𝑉=\left\{\mathrm{𝟎}\right\}$, allora $dim\left(𝑉\right)=0$.

Dimensioni di spazi vettoriali comuni:

$𝑉$	$dim\left(𝑉\right)$
${ℝ}^{𝑛}$	$𝑛$
${𝕄}_{𝑚,𝑛}\left(ℝ\right)$	$𝑚𝑛$
${ℝ}_{𝑑}\left[𝑥\right]$	$𝑑+1$

Completare un insieme linearmente indipendente a una base

Siano dati un insieme linearmente indipendente $𝐴=\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑚}\right\}\subset {ℝ}^{𝑛}$ e una base $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑛}\right\}\subset {ℝ}^{𝑛}$.

1. Formiamo la matrice:

   $$𝑪=\left[\begin{array}{cc}𝑨& 𝑩\end{array}\right]$$

   dove $𝑨$ ha come colonne i vettori di $𝐴$ e $𝑩$ ha come colonne i vettori di $\mathrm{ℬ︀}$.

2. Riduciamo $𝑪$ a scalini.

3. Otteniamo $𝑚$ pivot sulle prime $𝑚$ colonne e la posizione degli altri $𝑛-𝑚$ pivot in $𝑩$ individua gli $𝑛-𝑚$ elementi di $\mathrm{ℬ︀}$ da aggiungere ad $𝐴$ per ottenere una base di ${ℝ}^{𝑛}$.