Filtri di rango e Discrete Fourier Transform

Filtri non lineari

I filtri non lineari sono complessi da realizzare nel dominio analogico: richiedono una componentistica non lineare. Sui segnali numerici invece tutto è più semplice e si possono sfruttare i vantaggi offerti dalla non linearità.

Rimappatura dei livelli

La quantizzazione è un’operazione non lineare. Sull’output si può agire nuovamente in maniera non lineare usando funzioni che rimappano i livelli (per esempio, per espandere i livelli in un certo intervallo e comprimere quelli negli altri intervalli).

Operazioni di questo tipo vengono usate per:

• evidenziare caratteristiche del segnale o del suo contenuto;
• cancellare alcune variazioni;
• estrarre alcune parti, azzerandone altre;

Filtri di rango

I filtri di rango si basano sull’ordinamento dei valori all’interno della finestra di filtraggio e poi sul calcolo di una media pesata basata sul valore (rango) anziché sulla posizione dei campioni.

L’effetto dipende dalla dimensione della finestra e dai pesi utilizzati.

Alcuni filtri di rango molto usati sono:

• massimo: ${𝑎}_{𝑖}=\{\begin{array}{cc}0& 𝑖\ne 𝑁\\ 1& 𝑖=𝑁\end{array}$
• minimo: ${𝑎}_{𝑖}=\{\begin{array}{cc}0& 𝑖\ne 1\\ 1& 𝑖=1\end{array}$
• mediana: ${𝑎}_{𝑖}=\{\begin{array}{cc}0& 𝑖\ne \lceil \frac{𝑁}{2}\rceil \\ 1& 𝑖=\lceil \frac{𝑁}{2}\rceil \end{array}$

Note

Un filtro mediano si usa solitamente per rimuovere variazioni non volute nel segnale, particolarmente quelle di tipo impulsivo.

Si riesce ad eliminare picchi isolati senza introdurre un effetto di passa-basso (che abbassa e allarga i picchi ma non li rimuove completamente).

I filtri di rango presentano una maggiore complessità computazionale, dovuta alla necessità di eseguire l’operazione di ordinamento (la cui complessità minima è $𝑂\left(𝑁log\left(𝑁\right)\right)$).

Discrete Fourier Transform (DFT)

La DFT è l’analogo discreto della formula che restituisce i coefficienti della serie di Fourier. L’IDFT (inversa) è l’analogo della serie (che ricostruisce il segnale nel tempo).

• DFT:

  $$𝑋\left[𝑘\right]=\frac{1}{\sqrt{𝑁}}\sum _{𝑛=0}^{𝑁-1}𝑥\left[𝑛\right]{𝑒}^{-𝑗2𝜋\frac{𝑘}{𝑁}𝑛}$$

• IDFT:

  $$𝑥\left[𝑛\right]=\frac{1}{\sqrt{𝑁}}\sum _{𝑘=0}^{𝑁-1}𝑋\left[𝑘\right]{𝑒}^{𝑗2𝜋\frac{𝑘}{𝑁}𝑛}$$

Funzioni base

Le armoniche campionate ${𝑒}^{-𝑗2𝜋\frac{𝑘}{𝑁}𝑛}$ sono $𝑁$ sinusoidi complesse discretizzate nel tempo, e prendono il nome di funzioni base. La $𝑘$-esima funzione base è una sinusoide a frequenza pari a $𝑘$ volte la frequenza fondamentale (ovvero la frequenza che compie un intero ciclo nella durata del segnale).

La discretizzazione del segnale in frequenza rende il segnale originale periodico nel tempo, allo stesso modo in cui la discretizzazione nel tempo rendeva il segnale periodico nel dominio delle frequenze (come nella serie di Fourier, dato che i coefficienti sono discretizzati e non continui).

Se un segnale discreto ha $𝑁$ campioni, la sua FT è una funzione continua e periodica. La DFT è la discretizzazione di tale rappresentazione. Poi, quando si applica la trasformata inversa, si genera anche una periodizzazione nel tempo (si pensi al caso duale della trasformata di Fourier).

Proprietà della DFT

La DFT mantiene tutte le proprietà della FT (linearità, invertibilità, simmetria, traslazione, ecc.)

Teorema di Rayleigh

Per calcolare l’energia di una sequenza discreta, è possibile lavorare direttamente sui coefficienti nel dominio della frequenza:

$${𝐸}_{𝑥}=\sum _{𝑛=0}^{𝑁-1}{𝑥\left[𝑛\right]}^2=\sum _{𝑘=0}^{𝑁-1}{𝑋\left[𝑘\right]}^2$$