Criterio di diagonalizzabilità e teorema spettrale

Dimostrazione del criterio di diagonalizzabilità

Riprendiamo il criterio enunciato nella lezione precedente.

Dimostrazione:

$$\sum _{𝑖=1}^{𝑘}𝑎\left({𝜆}_{𝑖}\right)=dim\left(𝑉\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑘}𝑔\left({𝜆}_{𝑖}\right)$$

Siano ${𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑘}$ gli autovalori distinti di $𝑓$. Sia ${𝐴}_{𝑖}=\left\{{𝒂}_{𝑖,1},\dots ,{𝒂}_{𝑖,{𝑔}_{𝑖}}\right\}$, ove ${𝑔}_{𝑖}=𝑔\left({𝜆}_{𝑖}\right)$, una base dell’autospazio $𝐸\left({𝜆}_{𝑖}\right)$.

Vogliamo mostrare che ${𝐴}_1\cup \dots \cup {𝐴}_{𝑘}$ è una base di $𝑉$. Sia

$${𝒘}_{𝑖}=\sum _{ℎ=1}^{{𝑔}_{𝑖}}{𝜇}_{𝑖,ℎ}{𝒂}_{𝑖,ℎ}\in 𝐸\left({𝜆}_{𝑖}\right),$$

e supponiamo che:

$${𝒘}_1+\dots +{𝒘}_{𝑘}=\mathrm{𝟎}.$$

Poiché autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, si ha ${𝒘}_1=\dots ={𝒘}_{𝑘}=\mathrm{𝟎}$. Siccome ${𝐴}_{𝑖}$ è linearmente indipendente, allora ${𝜇}_{𝑖,1}=\dots ={𝜇}_{𝑖,{𝑔}_{𝑖}}=0$.

Il numero di vettori dell’unione è ${\sum }_{𝑖=1}^{𝑘}𝑔\left({𝜆}_{𝑖}\right)=𝑛$, quindi l’unione è una base di $𝑉$.

Corollario 1

Dati un endomorfismo $𝑓:𝑉\to 𝑉$, $dim\left(𝑉\right)=𝑛$ e i suoi autovalori ${𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑘}$, $𝑘\le 𝑛$, allora:

$$𝑓\text{è diagonalizzabile}\iff \sum _{𝑖=1}^{𝑘}𝑎\left({𝜆}_{𝑖}\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑘}𝑔\left({𝜆}_{𝑖}\right)=𝑛$$

Corollario 2

Dato un endomorfismo $𝑓:𝑉\to 𝑉$ tale che ${𝜒}_{𝑓}\left(𝜆\right)$ sia totalmente riducibile e tale che $𝑎\left({𝜆}_{𝑖}\right)=1$ per ogni autovalore ${𝜆}_{𝑖}$, allora $𝑓$ è diagonalizzabile.

Corollario 3

Dato un endomorfismo $𝑓:𝑉\to 𝑉$ diagonalizzabile, il determinante della matrice rappresentativa $𝑨$ è il prodotto dei suoi autovalori, contati con la loro molteplicità algebrica:

$$det\left(𝑨\right)=\prod _{𝑖=1}^{𝑘}{𝜆}_{𝑖}^{𝑎\left({𝜆}_{𝑖}\right)}$$

Matrici diagonalizzabili e cambiamento di base

Consideriamo un endomorfismo diagonalizzabile $𝑓:𝑉\to 𝑉$, una base $\mathrm{𝒜︀}$ di $𝑉$ e la matrice rappresentativa ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}\left(𝑓\right)$. Poiché $𝑓$ è diagonalizzabile, esiste una base di $𝑉$ formata da autovettori di $𝑓$.

Gli autovettori (${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑛}$) di $𝑓$ rappresentano le soluzioni (non nulle) del sistema $\left(𝑴-𝜆𝑰\right)𝒙=\mathrm{𝟎}$.

Sia $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑛}\right\}$ una base di $𝑉$ formata dagli autovettori ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑛}$, con ${𝒗}_{𝑖}\in 𝐸\left({𝜆}_{𝑖}\right)$. Poiché $𝑓\left({𝒗}_{𝑖}\right)={𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}$, la matrice rappresentativa di $𝑓$ rispetto a $\mathrm{ℬ︀}$ è la matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale principale:

$${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)=diag\left({𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑛}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{𝜆}_1& 0& \dots & 0\\ 0& {𝜆}_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {𝜆}_{𝑛}\end{array}\right]$$

La stessa matrice si ottiene con la formula del cambiamento di base:

$${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)={𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}{𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}\left(𝑓\right){𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{\mathrm{𝒜︀}}$$

Endomorfismi simmetrici

Dati uno spazio vettoriale euclideo $𝑉$ e un endomorfismo $𝑓:𝑉\to 𝑉$, $𝑓$ è simmetrico se:

$$𝑓\left(𝒗\right)\cdot 𝒘=𝒗\cdot 𝑓\left(𝒘\right)$$

Se $𝑓$ è simmetrico e ${𝜆}_1\ne {𝜆}_2$ sono autovalori distinti di $𝑓$, allora i vettori ${𝒗}_1\in 𝐸\left({𝜆}_1\right)$, ${𝒗}_2\in 𝐸\left({𝜆}_2\right)$ sono ortogonali (${𝒗}_1\cdot {𝒗}_2=\mathrm{𝟎}$). In altre parole, i vettori appartenenti ad autospazi distinti sono ortogonali tra loro.

Tip

$𝑓$ è simmetrico se e solo se la sua matrice rappresentativa rispetto a una base ortonormale è simmetrica, ovvero $\left[{𝑚}_{𝑖,𝑗}\right]=\left[{𝑚}_{𝑗,𝑖}\right]$.

Teorema spettrale

Dati uno spazio vettoriale euclideo $𝑉$ di dimensione finita e un endomorfismo simmetrico $𝑓:𝑉\to 𝑉$, esiste una base ortonormale di $𝑉$ fatta di autovettori di $𝑓$. In particolare $𝑓$ è diagonalizzabile.