Circuiti RC e componenti in serie e parallelo

Potenza ed energia elettrica

Se colleghiamo un generatore a un dipolo, avremo una corrente e una differenza di potenziale.

Definiamo la potenza dissipata dal circuito come:

$$𝑃\left(𝑡\right)=𝐼\left(𝑡\right)𝑉\left(𝑡\right)$$

Possiamo creare un grafico con $𝐼\left(𝑡\right)$ sull’asse verticale e $𝑉\left(𝑡\right)$ sull’orizzontale. Il grafico della funzione potenza sarà sempre nel 1° o 3° quadrante, dato che corrente e tensione sono sempre o entrambe positive o entrambe negative.

L’energia immagazzinata da un circuito elettrico si può esprimere come la potenza utilizzata per un certo periodo di tempo:

$$𝐸\left({𝑡}_1,{𝑡}_2\right)={\int }_{{𝑡}_1}^{{𝑡}_2}𝑃\left(𝑡\right)d𝑡={\int }_{{𝑡}_1}^{{𝑡}_2}𝐼\left(𝑡\right)𝑉\left(𝑡\right)d𝑡$$

Per il condensatore:

$$𝐸\left({𝑡}_1,{𝑡}_2\right)=𝐶{\int }_{{𝑡}_1}^{{𝑡}_2}𝑉\left(𝑡\right)\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{d𝑡}d𝑡=𝐶{\int }_{𝑉\left({𝑡}_1\right)}^{𝑉\left({𝑡}_2\right)}𝑉\left(𝑡\right)d𝑉\left(𝑡\right)={\left[\frac{1}{2}𝐶{𝑉\left(𝑡\right)}^2\right]}_{𝑉\left({𝑡}_1\right)}^{𝑉\left({𝑡}_2\right)}$$

Per l’induttore:

$$𝐸\left({𝑡}_1,{𝑡}_2\right)=𝐿{\int }_{{𝑡}_1}^{{𝑡}_2}𝐼\left(𝑡\right)\frac{d𝐼\left(𝑡\right)}{d𝑡}d𝑡=𝐿{\int }_{𝐼\left({𝑡}_1\right)}^{𝐼\left({𝑡}_2\right)}𝐼\left(𝑡\right)d𝐼\left(𝑡\right)={\left[\frac{1}{2}𝐿{𝐼\left(𝑡\right)}^2\right]}_{𝐼\left({𝑡}_1\right)}^{𝐼\left({𝑡}_2\right)}$$

Legame tra le grandezze elettromagnetiche

Elementi in serie e in parallelo

Resistori in serie

Prendiamo $𝑛$ resistori in serie ${𝑅}_1,\dots ,{𝑅}_{𝑛}$.

La differenza di potenziale è data dalla somma di tutte le differenze di potenziale dei singoli resistori. La corrente che attraversa il circuito è la stessa per ogni resistore.

$${𝑉}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝑉}_{{𝑅}_{𝑖}}\left(𝑡\right)$$$${𝑅}_{\text{tot}}=\frac{{𝑉}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)}{𝐼\left(𝑡\right)}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝑅}_{𝑖}$$

Resistori in parallelo

Prendiamo $𝑛$ resistori in parallelo ${𝑅}_1,\dots ,{𝑅}_{𝑛}$.

Ogni resistore avrà la stessa differenza di potenziale ai suoi capi. Ciò che cambia è la corrente che attraversa ciascun ramo.

$${𝐼}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{𝑉\left(𝑡\right)}{{𝑅}_{𝑖}}$$$$\frac{1}{{𝑅}_{\text{tot}}}=\frac{{𝐼}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)}{𝑉\left(𝑡\right)}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{1}{{𝑅}_{𝑖}}$$

Condensatori in serie

Prendiamo $𝑛$ condensatori in serie ${𝐶}_1,\dots ,{𝐶}_{𝑛}$.

La carica sulle armature è la stessa per tutti i condensatori, mentre la differenza di potenziale totale sarà:

$${𝑉}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝑉}_{𝑖\left(𝑡\right)}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{𝑄\left(𝑡\right)}{{𝐶}_{𝑖}}$$$$\frac{1}{{𝐶}_{\text{tot}}}=\frac{{𝑉}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)}{𝑄\left(𝑡\right)}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{1}{{𝐶}_{𝑖}}$$

Condensatori in parallelo

Prendiamo $𝑛$ condensatori in parallelo ${𝐶}_1,\dots ,{𝐶}_{𝑛}$.

La carica totale si distribuisce in maniera non uniforme sulle armature, mentre la differenza di potenziale è uguale per tutti.

$${𝑄}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝑄}_{𝑖\left(𝑡\right)}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝐶}_{𝑖}𝑉\left(𝑡\right)$$$${𝐶}_{\text{tot}}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{{𝑄}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)}{𝑉\left(𝑡\right)}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝐶}_{𝑖}$$

Induttori in serie

Prendiamo $𝑛$ induttori in serie ${𝐿}_1,\dots ,{𝐿}_{𝑛}$.

L’induttanza, come la resistenza, è proporzionale alla lunghezza. In questo caso l’induttore ha lo stesso comportamento del resistore e quindi:

$${𝐿}_{\text{tot}}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝐿}_{𝑖}$$

Induttori in parallelo

Prendiamo $𝑛$ induttori in parallelo ${𝐿}_1,\dots ,{𝐿}_{𝑛}$.

La corrente si distribuisce su ogni ramo. La differenza di potenziale è la stessa per tutti gli induttori.

$${𝐼}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝐼}_{𝑖\left(𝑡\right)}={\int }_0^{𝑡}𝑉\left(𝑡\right)d𝑡\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{1}{{𝐿}_{𝑖}}$$$$\frac{1}{{𝐿}_{\text{tot}}}=\frac{{𝐼}_{\text{tot}}\left(𝑡\right)}{{\int }_0^{𝑡}𝑉\left(𝑡\right)d𝑡}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{1}{{𝐿}_{𝑖}}$$

Circuiti RC

Prendiamo un circuito formato da un generatore di tensione $𝑉$, una resistenza ${𝑅}_1$ e poi in parallelo un condensatore $𝐶$ e un’altra resistenza ${𝑅}_2$.

Sopra $𝐶$ c’è un interruttore che permette di collegare o staccare il generatore; definiamo la fase di carica quando l’interruttore è in posizione $𝑎$ e la fase di scarica quando è in posizione $𝑏$.

# carica
┌──R_1─a\ b┐         ┌──R_1──┐
│+      │  │         │+      │
V_s     C  R_2  ──>  V_s     C
│-      │  │         │-      │
└───────┴──┘         └───────┘

# scarica
┌──R_1─a /b─┐         ┌────┐
│+       │  │         │+   │
V_s      C  R_2  ──>  C    R_2
│-       │  │         │-   │
└────────┴──┘         └────┘

In entrambi i casi la corrente scorre in senso orario.

Fase di scarica

Consideriamo il sistema:

$$\{\begin{array}{c}-{𝐼}_{{𝑅}_2}\left(𝑡\right)-{𝐼}_{𝐶}\left(𝑡\right)=0\\ -{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)+{𝑉}_{{𝑅}_2}\left(𝑡\right)=0\\ {𝑉}_{{𝑅}_2}\left(𝑡\right)={𝑅}_2{𝐼}_{{𝑅}_2}\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{𝐶}\left(𝑡\right)=𝐶\frac{d{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_{𝑠}\end{array}$$

Semplificando, otteniamo un problema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{c}𝐶\frac{d{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{d𝑡}=-{𝑉}_{𝐶}\frac{𝑡}{{𝑅}_2}\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_{𝑠}\end{array}$$

Definiamo la costante di tempo $𝜏=𝐶{𝑅}_2$. Rappresenta il tempo necessario a raggiungere il 63,2% della tensione massima ai capi del condensatore o il tempo necessario perché essa scenda al 36.8% del valore massimo.

$$\{\begin{array}{c}\frac{d{𝑉}_{𝐶\left(𝑡\right)}}{d𝑡}=-{𝑉}_{𝐶}\frac{𝑡}{𝜏}\iff {\int }_{{𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)}^{{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}\frac{d{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{{𝑉}_{𝐶}}\left(𝑡\right)=-\frac{1}{𝜏}{\int }_{{𝑡}_0}^{𝑡}d𝑡\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_{𝑠}\end{array}$$$$\{\begin{array}{c}ln\left({𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)\right)-ln\left({𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)\right)=-\frac{𝑡}{𝜏}\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)={𝑉}_{𝑠}\end{array}$$

Abbiamo trovato la funzione che dà la differenza di potenziale in base al tempo durante la scarica del circuito:

$$ln\left({𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)\right)=ln\left({𝑉}_{𝑠}\right)-\frac{𝑡}{𝜏}\iff {𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)={𝑉}_{𝑠}{𝑒}^{-\frac{𝑡}{𝜏}}$$

Fase di carica

Consideriamo il sistema:

$$\{\begin{array}{c}{𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)-{𝐼}_{𝐶}\left(𝑡\right)=0\\ -{𝑉}_{𝑠}+{𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)+{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)=0\\ {𝑉}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)={𝑅}_1{𝐼}_{{𝑅}_1}\left(𝑡\right)\\ {𝐼}_{𝐶}\left(𝑡\right)=𝐶\frac{d{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{d𝑡}\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$

Semplificando, otteniamo un altro problema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{c}𝐶\frac{d{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{d𝑡}=\frac{{𝑉}_{𝑠}-{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{{𝑅}_1}\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$

Questa volta $𝜏=𝐶{𝑅}_1$.

$$\{\begin{array}{c}\frac{d{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{d𝑡}=\frac{{𝑉}_{𝑠}-{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{𝜏}\iff {\int }_{{𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)}^{{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}\frac{d{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}{{𝑉}_{𝑠}-{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)}=\frac{1}{𝜏}{\int }_{{𝑡}_0}^{𝑡}d𝑡\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$$$\{\begin{array}{c}-ln\left({𝑉}_{𝑠}-{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)\right)+ln\left({𝑉}_{𝑠}-{𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)\right)=\frac{𝑡}{𝜏}\\ {𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)=0\end{array}$$

E ora abbiamo trovato la funzione che dà la differenza di potenziale in base al tempo durante la carica del circuito:

$$ln\left({𝑉}_{𝑠}-{𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)\right)-ln\left({𝑉}_{𝑠}-{𝑉}_{𝐶}\left({𝑡}_0\right)\right)=-\frac{𝑡}{𝜏}\iff {𝑉}_{𝐶}\left(𝑡\right)={𝑉}_{𝑠}\left(1-{𝑒}^{-\frac{𝑡}{𝜏}}\right)$$

Alcuni punti interessanti:

• ${𝑉}_{𝐶}\left(𝜏\right)={𝑉}_{𝑠}\left(1-{𝑒}^{-1}\right)$
• ${𝑉}_{𝐶}\left(4𝜏\right)={𝑉}_{𝑠}\left(1-{𝑒}^{-4}\right)$: corrispondente a circa il 98% della tensione massima.