Trasferimento di segnale e componenti elettrici

Trasferimento di segnale e di potenza

Prendiamo un circuito composto da un generatore di tensione (${𝑉}_{𝑠}$: $𝑠$ sta per source) e 2 resistenze ${𝑅}_{𝑠}$ (source resistance) e ${𝑅}_{𝑙}$ (load resistance).

┌──R_s──┐
│+      │
V_s     R_l
│-      │
└───────┘

Tip

Le lettere ‘l’ e ‘s’ sono una convenzione standard in elettronica, per distinguere la parte che invia il segnale (source) e quella che lo riceve (load).

Segnale

Se volessimo un efficiente trasferimento di segnale, la resistenza ${𝑅}_{𝑙}$ dovrebbe essere molto più grande di ${𝑅}_{𝑠}$ perché vogliamo massimizzare la tensione ai capi della resistenza di carico.

Potenza

La potenza è data da $𝑃={𝑉}_{𝑙}{𝐼}_{𝑙}$. Dobbiamo quindi trovare il valore della resistenza che massimizza questa grandezza.

${𝑉}_{𝑙}={𝑉}_{𝑠}\frac{{𝑅}_{𝑙}}{{𝑅}_{𝑠}+{𝑅}_{𝑙}}$ e ${𝐼}_{𝑙}=\frac{{𝑉}_{𝑠}}{{𝑅}_{𝑠}+{𝑅}_{𝑙}}$, quindi $𝑃=\frac{{𝑉}_{𝑠}^2{𝑅}_{𝑙}}{{\left({𝑅}_{𝑠}+{𝑅}_{𝑙}\right)}^2}$. Per massimizzare, calcoliamo la derivata rispetto ad ${𝑅}_{𝑙}$ (l’unico parametro variabile) e studiamo i punti in cui essa si annulla.

In condizioni ideali, il risultato è che il valore da assegnare a ${𝑅}_{𝑙}$ per massimizzare la potenza trasferita è sempre uguale a ${𝑅}_{𝑠}$.

Condensatore

$$𝑄\left(𝑡\right)=𝑓\left(𝑉\left(𝑡\right)\right)$$

Simbolo:

Restrizioni:

• linearità: $𝑄\left(𝑡\right)=𝐶\left(𝑡\right)𝑉\left(𝑡\right)$;
• tempo-invarianza: $𝑄\left(𝑡\right)=𝐶𝑉\left(𝑡\right)$;

Corrente che passa attraverso un condensatore: $𝐼\left(𝑡\right)=\frac{d𝑄\left(𝑡\right)}{d𝑡}=𝐶\frac{d𝑉\left(𝑡\right)}{d𝑡}$.

Se invertiamo l’equazione possiamo trovare la differenza di potenziale del condensatore a partire dalla corrente che passa:

$$\begin{array}{c}𝐼\left(𝑡\right)d𝑡=𝐶d𝑉\left(𝑡\right)\\ \Updownarrow \\ {\int }_{𝑉\left({𝑡}_0\right)}^{𝑉\left(𝑡\right)}d𝑉=\frac{1}{𝐶}{\int }_{{𝑡}_0}^{𝑡}𝐼\left(𝑡\right)d𝑡\\ \Updownarrow \\ 𝑉\left(𝑡\right)=\frac{1}{𝐶}{\int }_{{𝑡}_0}^{𝑡}𝐼\left(𝑡\right)d𝑡+𝑉\left({𝑡}_0\right)\end{array}$$

I condensatori sono componenti che mantengono la carica anche quando la corrente del circuito si interrompe. Infatti, in assenza di corrente, la tensione è costante nel tempo (dipende solo dal valore presente a ${𝑡}_0$).

Danger

Quando si lavora con un circuito elettrico bisogna assicurarsi che i condensatori siano scarichi, altrimenti si rischia di rimanere fulminati.

Induttore

$${\mathrm{\Phi }}_{𝐵}\left(𝑡\right)=𝑓\left(𝐼\left(𝑡\right)\right)$$

Simbolo:

Restrizioni:

• linearità: ${\mathrm{\Phi }}_{𝐵\left(𝑡\right)}=𝐿\left(𝑡\right)𝐼\left(𝑡\right)$;
• tempo-invarianza: ${\mathrm{\Phi }}_{𝐵}\left(𝑡\right)=𝐿𝐼\left(𝑡\right)$;

Tensione sui capi di un induttore: $𝑉\left(𝑡\right)=\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{𝐵}\left(𝑡\right)}{d𝑡}=𝐿\frac{d𝐼\left(𝑡\right)}{d𝑡}$

Conseguenze:

• se la corrente è costante nel tempo, la sua derivata è 0 e la tensione diventa 0;
• l’induttore immagazzina energia nel campo magnetico generato dalla corrente; è solo la variazione della corrente a provocare una reazione;

Calcolo dell’induttanza di un induttore

Il solenoide è un classico esempio di induttore. Considerato un solenoide di lunghezza $𝑙$ e numero di spire $𝑁$, il campo magnetico al suo interno è dato dalla legge di Ampère:

$$\oint \overrightarrow{𝐵}\left(𝑡\right)\cdot d\overrightarrow{𝑙}={𝜇}_0𝑁𝐼\left(𝑡\right)\iff 𝐵\left(𝑡\right)={𝜇}_0𝐼\left(𝑡\right)\frac{𝑁}{𝑙}$$

Per trovare l’induttanza $𝐿$ devo conoscere l’area $𝐴$ di una singola spira, da cui posso ricavare il flusso magnetico passante attraverso una spira.

$${\mathrm{\Phi }}_{𝐵}\left(𝑡\right)=𝐵\left(𝑡\right)𝐴={𝜇}_0𝐼\left(𝑡\right)\frac{𝑁𝐴}{𝑙}$$

L’induttanza è definita come il rapporto tra il flusso magnetico totale (legatura di flusso) e la corrente che lo genera. Poiché il solenoide ha $𝑁$ spire, il flusso totale è $𝑁{\mathrm{\Phi }}_{𝐵}\left(𝑡\right)$.

$$𝐿=\frac{𝑁{\mathrm{\Phi }}_{𝐵}\left(𝑡\right)}{𝐼\left(𝑡\right)}={𝜇}_0\frac{{𝑁}^2𝐴}{𝑙}$$