Integrali doppi su insiemi misurabili e riduzione

Integrale doppio su insiemi generali

Sia $𝐴 \subseteq ℝ^{2}$ un insieme limitato e sia $𝑓 : 𝐴 \to ℝ$ una funzione limitata. Sia $𝑄 = [𝑎, 𝑏] \times [𝑐, 𝑑]$ un rettangolo contenente $𝐴$ ( $𝑄 \supset 𝐴$ ). Definiamo la funzione $\tilde{𝑓}$ come segue:

\tilde{𝑓} (𝑥, 𝑦) = {\begin{cases} 𝑓 (𝑥, 𝑦) & (𝑥, 𝑦) \in 𝐴 \\ 0 & (𝑥, 𝑦) \in 𝑄 ∖ 𝐴 \end{cases}

Si dice che $𝑓$ è integrabile su $𝐴$ se $\tilde{𝑓}$ è integrabile su $𝑄$ . In questo caso, si ha $\iint_{𝐴} 𝑓 = \iint_{𝑄} \tilde{𝑓}$ .

Integrale di una funzione su un insieme non rettangolare

Se per l’insieme $𝐴$ non fosse definita una nozione di area, non potremmo calcolare $\iint_{𝐴} 𝑓$ .

Insiemi misurabili e la loro misura

Un insieme $𝐴 \subseteq ℝ^{2}$ è definito misurabile se la funzione $𝑓 (𝒑) = {\begin{cases} 1 & 𝒑 \in 𝐴 \\ 0 & 𝒑 \notin 𝐴 \end{cases}$ è integrabile su $𝐴$ . In questo caso, il valore dell’integrale è chiamato misura di $𝐴$ , denotata con:

{| 𝐴 |}_{2} = \iint_{𝐴} 1 d 𝑥 d 𝑦

Teoremi

Sia $𝐴$ un insieme limitato. Allora $𝐴$ è misurabile se e solo se ${| 𝜕 𝐴 |}_{2} = 0$ .
Sia $𝑔 : [𝑎, 𝑏] \to ℝ$ una funzione integrabile in senso di Riemann. Allora il suo grafico $𝐺_{𝑔} = {(𝑥, 𝑔 (𝑥)) | 𝑥 \in [𝑎, 𝑏]}$ è misurabile e ${| 𝐺_{𝑔} |}_{2} = 0$ .

Corollario: Se la frontiera di $𝐴$ è data dall’unione finita di grafici di funzioni continue, allora $𝐴$ è misurabile.

Misurabilità degli insiemi semplici nel piano

Siano $𝑔_{1}, 𝑔_{2} : [𝑎, 𝑏] \to ℝ$ funzioni continue e supponiamo che $\forall 𝑥 \in [𝑎, 𝑏], 𝑔_{1} (𝑥) \leq 𝑔_{2} (𝑥)$ . L’insieme $𝐴 = {(𝑥, 𝑦) \in ℝ^{2} | 𝑎 \leq 𝑥 \leq 𝑏, 𝑔_{1} (𝑥) \leq 𝑦 \leq 𝑔_{2} (𝑥)}$ è chiamato insieme semplice rispetto all’asse $𝑦$ .

Per il corollario citato, $𝐴$ è misurabile.

Esistenza dell’integrale doppio su insiemi misurabili

Sia $𝑓 : 𝐴 \to ℝ$ . Supponiamo che $𝐴$ sia limitato e misurabile, e che $𝑓$ sia limitata e continua su $𝐴$ . Allora $𝑓$ è integrabile su $𝐴$ .

Integrale doppio su insiemi di misura nulla

Sia $𝐴 \subseteq ℝ^{2}$ un insieme limitato e misurabile, e sia $𝑓 \in 𝑅 (𝐴)$ . Supponiamo inoltre che $𝐴$ sia divisibile in $𝐵 \cup 𝐶$ , dove $𝐵$ e $𝐶$ sono misurabili e ${| 𝐶 |}_{2} = 0$ . Allora $\iint_{𝐴} 𝑓 = \iint_{𝐵} 𝑓$ .

Da questo teorema deriva che:

\iint_{𝐴} 𝑓 = \iint_{\dot{𝐴}} 𝑓

Integrali doppi su domini semplici e formule di riduzione

Un insieme $𝐴 \subseteq ℝ^{2}$ è detto dominio semplice (o dominio normale) rispetto all’asse $𝑦$ se esistono $𝑔_{1}, 𝑔_{2} \in 𝐶^{0} ([𝑎, 𝑏])$ tali che $\forall 𝑥 \in [𝑎, 𝑏], 𝑔_{1} (𝑥) \leq 𝑔_{2} (𝑥)$ e $𝐴 = {(𝑥, 𝑦) \in ℝ^{2} | 𝑥 \in [𝑎, 𝑏], 𝑔_{1} (𝑥) \leq 𝑦 \leq 𝑔_{2} (𝑥)}$ .
Un insieme $𝐴 \subseteq ℝ^{2}$ è detto dominio semplice (o dominio normale) rispetto all’asse $𝑥$ se esistono $ℎ_{1}, ℎ_{2} \in 𝐶^{0} ([𝑐, 𝑑])$ tali che $\forall 𝑦 \in [𝑐, 𝑑], ℎ_{1} (𝑦) \leq ℎ_{2} (𝑦)$ e $𝐴 = {(𝑥, 𝑦) \in ℝ^{2} | 𝑦 \in [𝑐, 𝑑], ℎ_{1} (𝑦) \leq 𝑥 \leq ℎ_{2} (𝑦)}$ .

Se un insieme è semplice, allora è limitato e misurabile. Quindi, se $𝐴$ è semplice e $𝑓 \in 𝐶^{0} (𝐴)$ , allora $𝑓 \in 𝑅 (𝐴)$ .

Formula di riduzione su domini semplici

Se $𝐴$ è un dominio semplice rispetto ad $𝑦$ , allora:
$\iint_{𝐴} 𝑓 = \int_{𝑎}^{𝑏} (\int_{𝑔_{1} (𝑥)}^{𝑔_{2} (𝑥)} 𝑓 (𝑥, 𝑦) d 𝑦) d 𝑥$
Inoltre, $𝐴$ è misurabile e ${| 𝐴 |}_{2} = \iint_{𝐴} 1 = \int_{𝑎}^{𝑏} (𝑔_{2} (𝑥) - 𝑔_{1} (𝑥)) d 𝑥$ .
Se $𝐴$ è un dominio semplice rispetto ad $𝑥$ , allora:
$\iint_{𝐴} 𝑓 = \int_{𝑐}^{𝑑} (\int_{ℎ_{1} (𝑦)}^{ℎ_{2} (𝑦)} 𝑓 (𝑥, 𝑦) d 𝑥) d 𝑦$
Inoltre, $𝐴$ è misurabile e ${| 𝐴 |}_{2} = \iint_{𝐴} 1 = \int_{𝑐}^{𝑑} (ℎ_{2} (𝑦) - ℎ_{1} (𝑦)) d 𝑦$ .