Teorema del differenziale totale e classe C1

Teorema del differenziale totale

Data una funzione $𝑓$ di più variabili per cui esiste $\nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)$, quale proprietà aggiuntiva è necessaria per garantire la differenziabilità di $𝑓$ in ${𝒑}_0$?

Nel caso in cui $\nabla 𝑓$ esista, ma le derivate parziali non siano continue, non si possono trarre conclusioni sulla differenziabilità della funzione, rendendo necessario ricorrere alla definizione basata sul piano tangente.

Note

Una funzione si dice di classe ${𝐶}^{𝑛\left(𝐴\right)}$ se è derivabile $𝑛$ volte su $𝐴$ e la sua $𝑛$-esima derivata è continua su $𝐴$.

Se $𝑓\in {𝐶}^1\left(𝐴\right)$, allora $𝑓$ è differenziabile in ogni punto di $𝐴$.

Derivate direzionali

Le derivate parziali costituiscono un caso particolare delle derivate direzionali, dato che il calcolo è semplice poiché varia solo la coordinata lungo l’asse di interesse.

Una derivata direzionale è la derivata della funzione lungo una direzione arbitraria data da un vettore $𝒗$.

$𝑓$ è direzionalmente derivabile nella direzione $𝒗$ nel punto ${𝒑}_0$ se:

$$\frac{𝜕𝑓}{𝜕𝒗}\left({𝒑}_0\right)=\underset{ℎ\to 0}{lim}\frac{𝑓\left({𝒑}_0+ℎ𝒗\right)-𝑓\left({𝒑}_0\right)}{ℎ}\in ℝ$$

Rapporto tra differenziabilità e derivabilità direzionale

Supponendo che $𝑓$ sia differenziabile in ${𝒑}_0$, allora, per ogni direzione $𝒗\in {ℝ}^{𝑛}$:

$$\frac{𝜕𝑓}{𝜕𝒗}\left({𝒑}_0\right)=\nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)\cdot 𝒗=d𝑓\left({𝒑}_0\right)\cdot 𝒗$$