Funzione di trasferimento e valore RMS sinusoidali

Funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento è il rapporto tra uscita e ingresso di un sistema LTI sul dominio delle frequenze.

Possiamo applicarla al caso dei fasori di corrente visti nel circuito RLC in parallelo nella scorsa lezione.

$$\widetilde{𝐻}\left(𝜔\right)=\frac{\text{uscita}}{\text{ingresso}}=\frac{{\widetilde{𝐼}}_{{𝑅}_1}}{{\widetilde{𝐼}}_{𝑠}}$$

Caution

Teoricamente, il segnale sinusoidale in ingresso dovrebbe essere stato presente da $𝑡=-\infty$, poiché il circuito deve trovarsi in stato stazionario.

Esempio: il circuito visto la scorsa lezione:

$$\begin{array}{cc}\widetilde{𝐻}\left(𝜔\right)& =\frac{\frac{{\widetilde{𝑣}}_{𝑠}}{𝑅}}{\frac{{\widetilde{𝑣}}_{𝑠}}{{𝑍}_{\text{tot}}}}\\ & =\frac{\frac{1}{\frac{1}{𝑅}+𝑗𝜔𝐶+\frac{1}{𝑗𝜔𝐿}}}{𝑅}\\ & =\frac{1}{𝑅\left(\frac{1}{𝑅}+𝑗𝜔𝐶-𝑗\frac{1}{𝜔𝐿}\right)}\\ & =\frac{1}{𝑅\left(\frac{1}{𝑅}+𝑗\left(𝜔𝐶-\frac{1}{𝜔𝐿}\right)\right)}\\ & =\frac{1}{1+𝑗𝑅\left(𝜔𝐶-\frac{1}{𝜔𝐿}\right)}\end{array}$$

A questo punto sostituiamo ${𝜔}_0=\frac{1}{\sqrt{𝐿𝐶}}$ e $𝑄=𝑅\sqrt{\frac{𝐶}{𝐿}}$, notando che $𝑅𝐶=𝑅\sqrt{\frac{𝐶}{𝐿}}\sqrt{𝐿𝐶}=\frac{𝑄}{{𝜔}_0}$.

$$\begin{array}{cc}\widetilde{𝐻}\left(𝜔\right)& =\frac{1}{1+𝑗𝑅𝐶\left(𝜔-\frac{1}{𝜔𝐿𝐶}\right)}\\ & =\frac{1}{1+𝑗𝑅𝐶\left(𝜔-\frac{{𝜔}_0^2}{𝜔}\right)}\\ & =\frac{1}{1+𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}\frac{1-𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}{1-𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}\\ & =\frac{1-𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}\end{array}$$

Il modulo della funzione definisce il guadagno del circuito:

$$\begin{array}{cc}𝐺\left(𝜔\right)=\left|\widetilde{𝐻}\left(𝜔\right)\right|& =\sqrt{\frac{1-𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}\frac{1+𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}}\\ & =\frac{\sqrt{\left(1-𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)\right)\left(1+𝑗𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)\right)}}{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}\\ & =\frac{\sqrt{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}}{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}}\end{array}$$

Il cambiamento di fase tra l’ingresso e l’uscita è dato da:

$$\begin{array}{cc}𝜃\left(𝜔\right)=arg\left(\widetilde{𝐻}\left(𝜔\right)\right)& =arctan\left(\frac{\left(1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2\right)\left(-𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)\right)}{1+{𝑄}^2{\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}^2}\right)\\ & =arctan\left(\frac{-𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)}{1}\right)\\ & =-arctan\left(𝑄\left(\frac{𝜔}{{𝜔}_0}-\frac{{𝜔}_0}{𝜔}\right)\right)\end{array}$$

Valore RMS (Root Mean Square) di una sinusoidale

$$\begin{array}{cc}{𝑋}_{\text{RMS}}& =\sqrt{\frac{1}{𝑇}{\int }_0^{𝑇}{𝐴}^2{cos\left(𝜔𝑡+𝜃\right)}^{2}d𝑡}\\ & =\sqrt{𝜔\frac{{𝐴}^2}{2𝜋}{\int }_0^{2\frac{𝜋}{𝜔}}{cos\left(𝜔𝑡+𝜃\right)}^{2}d𝑡}\\ & =\sqrt{𝜔\frac{{𝐴}^2}{2𝜋}{\int }_0^{2\frac{𝜋}{𝜔}}\frac{cos\left(2𝜔𝑡+2𝜃\right)+1}{2}d𝑡}\\ & =\sqrt{𝜔\frac{{𝐴}^2}{4𝜋}\frac{2𝜋}{𝜔}}\\ & =\sqrt{\frac{{𝐴}^2}{2}}=\frac{𝐴}{\sqrt{2}}\end{array}$$

Nei circuiti a corrente alternata, il valore RMS di $𝑉$ indica il valore effettivo della tensione. Pertanto, un circuito a corrente continua con una tensione $𝑉$ e uno a corrente alternata con lo stesso valore RMS dissipano (per effetto Joule) la stessa quantità di calore sulla stessa resistenza.