Determinante, teorema di Laplace e applicazioni

Determinante di una matrice quadrata

Sia $𝑨 \in 𝕄_{𝑛, 𝑛} (ℝ)$ una matrice quadrata. Dati due indici $𝑖, 𝑗 \in {1, \dots, 𝑛}$ , chiamiamo $𝑨_{𝑖, 𝑗}$ la matrice complementare di dimensioni $(𝑛 - 1) \times (𝑛 - 1)$ ottenuta da $𝑨$ rimuovendo la riga $𝑖$ e la colonna $𝑗$ .

Fissata una colonna $𝑗$ , il determinante di $𝑨$ è il numero reale definito tramite il teorema di Laplace:

det (𝑨) = \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} {(- 1)}^{𝑖 + 𝑗} 𝑎_{𝑖, 𝑗} det (𝑨_{𝑖, 𝑗})

La definizione è ricorsiva, perché ogni determinante di ordine $𝑛$ si riduce a determinanti di ordine $𝑛 - 1$ .

Casi particolari e proprietà del determinante

Se $𝑨 \in 𝕄_{1, 1} (ℝ)$ , allora $det (𝑨) = 𝑎_{1, 1}$ .
Se $𝑨 \in 𝕄_{2, 2} (ℝ)$ , allora $det (𝑨) = 𝑎_{1, 1} 𝑎_{2, 2} - 𝑎_{1, 2} 𝑎_{2, 1}$ .
Se $𝑨$ è una matrice triangolare superiore ( $𝑖 > 𝑗 \Rightarrow 𝑎_{𝑖, 𝑗} = 0$ ), allora il determinante è il prodotto di tutti gli elementi sulla diagonale principale.
Il determinante di $𝑰_{𝑛}$ è sempre $1$ .
Se $𝑨$ ha una riga o una colonna nulla, allora $det (𝑨) = 0$ .
$det (𝑨) = det (𝑨^{𝑇})$ .

Teorema di Binet

Se $𝑨, 𝑩 \in 𝕄_{𝑛, 𝑛} (ℝ)$ , allora:

det (𝑨 𝑩) = det (𝑨) det (𝑩)

Quindi se $𝑨$ è invertibile, allora $det (𝑨^{- 1}) = {(det (𝑨))}^{- 1}$ .

Determinante delle matrici elementari

$det (𝑺_{𝑖, 𝑗}) = - 1$
$det (𝑫_{𝑖} (𝜆)) = 𝜆$
$det (𝑬_{𝑖, 𝑗} (𝜆)) = 1$

Metodo di Gauss per calcolare il determinante

È possibile calcolare il determinante di $𝑨$ con i seguenti passaggi:

Ridurre $𝑨$ a una forma a scalini $𝑨^{'}$ mediante le operazioni $𝑺_{𝑖, 𝑗}$ e $𝑬_{𝑖, 𝑗} (𝜆)$ .
Il determinante di $𝑨^{'}$ è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, perché una matrice a scalini è anche triangolare superiore.
$det (𝑨) = {(- 1)}^{𝑠} det (𝑨^{'})$ , dove $𝑠$ è il numero di operazioni $𝑺_{𝑖, 𝑗}$ eseguite.

Applicazioni del determinante

Rango e invertibilità

Sia $𝑨 \in 𝕄_{𝑛, 𝑛} (ℝ)$ una matrice quadrata. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

$det (𝑨) \neq 0$
$rg (𝑨) = 𝑛$
$𝑨$ è invertibile

Di conseguenza, un insieme di $𝑛$ vettori ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ è una base di $ℝ^{𝑛}$ se e solo se $det (𝑨) \neq 0$ , dove $𝑨$ è la matrice che ha tali vettori come colonne.

Teorema di Cramer (sistemi lineari)

Sia $𝑨 𝒙 = 𝒃$ un sistema lineare quadrato di $𝑛$ equazioni in $𝑛$ incognite. Se $det (𝑨) \neq 0$ , allora il sistema ammette un’unica soluzione, data da:

𝑥_{𝑗} = \frac{det (𝑨_{𝑗})}{det (𝑨)}, 𝑗 = 1, \dots, 𝑛

dove $𝑨_{𝑗}$ è la matrice ottenuta sostituendo la $𝑗$ -esima colonna di $𝑨$ con $𝒃$ .

Calcolo delle matrici inverse

Sia $𝑨 \in 𝕄_{𝑛, 𝑛} (ℝ)$ con $𝑨 = [𝑎_{𝑖, 𝑗}]$ . Il cofattore dell’elemento $𝑎_{𝑖, 𝑗}$ è lo scalare:

𝑎_{𝑖, 𝑗}^{'} = {(- 1)}^{𝑖 + 𝑗} det (𝑨_{𝑖, 𝑗})

La matrice dei cofattori di $𝑨$ è $𝑨^{'} = [𝑎_{𝑖, 𝑗}^{'}]$ .

Se $𝑨$ è invertibile, allora:

𝑨^{- 1} = \frac{𝑨^{' 𝑇}}{det (𝑨)}