Curve parametriche, definizione vettore e tangente

Curve in ${ℝ}^{𝑛}$

Tip

• integrale doppio: formalizza il concetto di area;
• integrale triplo: formalizza il concetto di volume;
• integrale curvilineo: formalizza il concetto di lunghezza di una curva;

Una curva (o traiettoria) è una mappa $𝛾:𝐼\subseteq ℝ\to {ℝ}^{𝑛}$, continua su $𝐼$, $𝛾\left(𝑡\right)=\left({𝛾}_1\left(𝑡\right),\dots ,{𝛾}_{𝑛\left(𝑡\right)}\right)$, con ${𝛾}_{𝑖}:𝐼\to ℝ$.

• Se $𝐼=\left[𝑎,𝑏\right]$, allora i punti $𝛾\left(𝑎\right)$ e $𝛾\left(𝑏\right)$ si chiamano estremi della curva.
• L’insieme $𝛾\left(𝐼\right)\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ si chiama sostegno della curva.
• L’equazione $𝒙=\left({𝑥}_1,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\right)=𝛾\left(𝑡\right)$ è detta equazione parametrica di $𝛾$.
• La curva si dice chiusa se $𝐼=\left[𝑎,𝑏\right]$ e $𝛾\left(𝑎\right)=𝛾\left(𝑏\right)$.
• Una curva si dice semplice se $𝛾$ è iniettiva, oppure se $𝛾$ è chiusa e $𝛾:\left[𝑎,𝑏\right)\to {ℝ}^{𝑛}$ è iniettiva.

Note

Due curve possono avere lo stesso sostegno ma essere differenti.

Esempio: Due curve che hanno come sostegno una circonferenza, ma i cui domini sono $\left[0,2𝜋\right]$ e $\left[0,4𝜋\right]$. In questo caso una curva è semplice e l’altra no.

Orientazione (o verso) di una curva semplice

Data $𝛾:𝐼\to {ℝ}^{𝑛}$ curva semplice, si dice che il punto ${𝒙}_1=𝛾\left({𝑡}_1\right)$ precede il punto ${𝒙}_2=𝛾\left({𝑡}_2\right)$ se ${𝑡}_1<{𝑡}_2$.

Vettore velocità di una curva

Sia $𝛾:𝐼\to {ℝ}^{𝑛}$ una curva, $𝛾\left(𝑡\right)=\left({𝛾}_1\left(𝑡\right),\dots ,{𝛾}_{𝑛\left(𝑡\right)}\right)$. Se le componenti ${𝛾}_{𝑖}$ sono derivabili in un punto ${𝑡}_0\in 𝐼$, il vettore velocità di $𝛾$ in ${𝑡}_0$ è definito:

$${𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)=\left({𝛾}_1^{\prime }\left({𝑡}_0\right),\dots ,{𝛾}_{𝑛\left({𝑡}_0\right)}^{\prime }\right)$$

Possiamo scrivere:

$$𝛾\left(𝑡\right)=𝛾\left({𝑡}_0\right)+{𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\left(𝑡-{𝑡}_0\right)+𝑜\left(𝑡-{𝑡}_0\right)\text{per}𝑡\to {𝑡}_0$$

Se ${𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$, allora si chiama retta tangente alla curva $𝛾$ nel punto ${𝑥}_0=𝛾\left({𝑡}_0\right)$ l’equazione parametrica:

$$𝒙=𝛾\left({𝑡}_0\right)+{𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)\left(𝑡-{𝑡}_0\right)$$

Se ${𝛾}^{\prime }\left({𝑡}_0\right)=\mathrm{𝟎}$, la retta tangente può non esistere.

Curva regolare

Una curva si dice di classe ${𝐶}^{𝑚}$ se tutte le ${𝛾}_{𝑖}$ sono di classe ${𝐶}^{𝑚}$.

$𝛾:𝐼\to {ℝ}^{𝑛}$ si dice regolare se è di classe ${𝐶}^1$ e $\forall 𝑡\in 𝐼,{𝛾}^{\prime }\left(𝑡\right)\ne \mathrm{𝟎}$.

Data $𝛾$ curva regolare, si chiama versore tangente a $𝛾$ il campo vettoriale:

$${𝑇}_{𝛾\left(𝑡\right)}=\frac{{𝛾}^{\prime }\left(𝑡\right)}{\Vert {𝛾}^{\prime }\left(𝑡\right)\Vert },𝑡\in 𝐼$$

Curva regolare a tratti

Una curva $𝛾$ si dice ${𝐶}^1$ a tratti (o regolare a tratti) se esiste una suddivisione tale che in ogni suo intervallo $𝛾$ sia di classe ${𝐶}^1$.

In tal caso $𝛾$ è considerata unione delle $𝑁$ curve regolari ${𝛾}_{𝑖}$ e si scrive:

$$𝛾={\cup }_{𝑖=1}^{𝑁}{𝛾}_{𝑖}$$

Cambiamento di parametro di una curva

Due curve di classe ${𝐶}^1$, $𝛾:𝐼\to {ℝ}^{𝑛}$ e $\widetilde{𝛾}:\widetilde{𝐼}\to {ℝ}^{𝑛}$, sono dette equivalenti se esiste una funzione biettiva $𝜑:\widetilde{𝐼}\to 𝐼$ tale che:

• $𝜑\in {𝐶}^1\left(\widetilde{𝐼}\right)$
• $\forall 𝜏\in \widetilde{𝐼},{𝜑}^{\prime }\left(𝜏\right)\ne 0$
• $\forall 𝜏\in \widetilde{𝐼},\widetilde{𝛾}\left(𝜏\right)=𝛾\left(𝜑\left(𝜏\right)\right)$.

In tal caso, la funzione $𝜑$ è chiamata cambiamento di parametrizzazione.

Se $\forall 𝜏\in \widetilde{𝐼},{𝜑}^{\prime }\left(𝜏\right)>0$, $𝛾$ e $\widetilde{𝛾}$ hanno lo stesso verso. Invece se $\forall 𝜏\in \widetilde{𝐼},{𝜑}^{\prime }\left(𝜏\right)<0$, $𝛾$ e $\widetilde{𝛾}$ hanno verso opposto.

Due curve equivalenti hanno lo stesso sostegno; se una delle due è semplice, anche l’altra lo è.