Reti LTI sinusoidali e impedenza complessa

Soluzione di una rete LTI con ingresso sinusoidale

La scorsa lezione abbiamo visto che è possibile trovare la soluzione di una generica rete LTI con ingresso sinusoidale.

In genere $𝑠_{𝑖}$ è un numero complesso. Chiameremo $𝑠_{𝑖}^{'}$ la parte reale e $𝑠_{𝑖}^{″}$ la parte immaginaria.

𝑦_{ℎ (𝑡)} = \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑘_{𝑖} 𝑒^{𝑠_{𝑖} 𝑡} = \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑘_{𝑖} 𝑒^{𝑠_{𝑖}^{'} 𝑡} 𝑒^{𝑗 𝑠_{𝑖}^{″} 𝑡}

Se $𝑠_{𝑖}^{'} > 0$ , allora ${lim}_{𝑡 \to \infty} 𝑦_{ℎ (𝑡)} = \infty$ . Questo non è accettabile perché il sistema arriverebbe a consumare una quantità di energia infinita.
Se $𝑠_{𝑖}^{'} = 0$ , il circuito oscilla con ampiezza costante. Non è realistico perché c’è sempre una quantità di energia che viene dissipata sotto forma di calore.
Se $𝑠_{𝑖}^{'} < 0$ , allora ${lim}_{𝑡 \to \infty} 𝑦_{ℎ (𝑡)} = 0$ . Ci troviamo nei casi smorzati visti in precedenza.

Collegamento di un generatore ad un dipolo

Prendo un generatore $𝑖 (𝑡) = ℜ (\tilde{𝐼} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡})$ .

┌─────┐
│+    │
i(t)  B
│-    │
└─────┘

Dipolo di tipo resistore ( $𝐵 = 𝑅$ )

\begin{aligned} 𝑣 (𝑡) = 𝑅 𝑖 (𝑡) & \Leftrightarrow ℜ (\tilde{𝑉} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}) = ℜ (𝑅 \tilde{𝐼} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}) \\ \Leftrightarrow \tilde{𝑉} = 𝑅 \tilde{𝐼} \end{aligned}

Dipolo di tipo condensatore ( $𝐵 = 𝐶$ )

\begin{aligned} 𝑖 (𝑡) = 𝐶 \frac{d 𝑣 (𝑡)}{d 𝑡} & \Leftrightarrow ℜ (\tilde{𝐼} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}) = ℜ (𝐶 \frac{d \tilde{𝑉} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}}{d 𝑡}) = ℜ (𝐶 𝑗 𝜔 \tilde{𝑉} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}) \\ \Leftrightarrow \tilde{𝐼} = 𝑗 𝜔 𝐶 \tilde{𝑉} \\ \Leftrightarrow \tilde{𝑉} = \frac{\tilde{𝐼}}{𝑗 𝜔 𝐶} \end{aligned}

Dipolo di tipo induttore ( $𝐵 = 𝐿$ )

\begin{aligned} 𝑣 (𝑡) = 𝐿 \frac{d 𝑖 (𝑡)}{d 𝑡} & \Leftrightarrow ℜ (\tilde{𝑉} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}) = ℜ (𝐿 \frac{d \tilde{𝐼} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}}{d 𝑡}) = ℜ (𝐿 𝑗 𝜔 \tilde{𝐼} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}) \\ \Leftrightarrow \tilde{𝑉} = 𝑗 𝜔 𝐿 \tilde{𝐼} \end{aligned}

Impedenza

L’impedenza è il corrispettivo della resistenza per i circuiti a corrente alternata. È un numero costante nel tempo e dipendente solamente dalla frequenza di un circuito, definito come:

𝑍 = \frac{\tilde{𝑉}}{\tilde{𝐼}}

Per il resistore: $𝑍 = 𝑅$ ;
Per il condensatore: $𝑍 = \frac{1}{𝑗 𝜔 𝐶}$ ;
Per l’induttore: $𝑍 = 𝑗 𝜔 𝐿$ ;

In generale $𝑍$ è un numero complesso, quindi $| 𝑍 | = \frac{| \tilde{𝑉} |}{| \tilde{𝐼} |}$ e $𝜃_{𝑍} = 𝜃_{\tilde{𝑉}} - 𝜃_{\tilde{𝐼}}$ .

Impedenze in serie e parallelo

Si ricavano facilmente con le leggi di Kirchhoff.

in serie: $𝑍_{tot} = \sum_{𝑖} 𝑍_{𝑖}$ ;
in parallelo: $\frac{1}{𝑍_{tot}} = \sum_{𝑖} \frac{1}{𝑍_{𝑖}}$ ;

Circuito RLC in parallelo con fasori

Prendo un circuito dove resistore, condensatore e induttore sono in parallelo. La corrente in entrata ha andamento sinusoidale $𝑖_{𝑠 (𝑡)} = ℜ ({\tilde{𝐼}}_{𝑠} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡})$ .

┌───────┬────┬────┐
i_s(t)  C_1  L_1  R_1
└───────┴────┴────┘

Supponiamo di voler trovare $𝑖_{𝑅_{1}} (𝑡)$ . Bastano 2 equazioni (+ quelle per trovare l’impedenza):

{\begin{cases} {\tilde{𝐼}}_{𝑅_{1}} = \frac{{\tilde{𝑉}}_{𝑠}}{𝑅_{1}} \\ {\tilde{𝐼}}_{𝑠} = \frac{{\tilde{𝑉}}_{𝑠}}{𝑍_{tot}} \end{cases}

{\tilde{𝐼}}_{𝑅_{1}} = \frac{𝑍_{tot}}{𝑅_{1}} {\tilde{𝐼}}_{𝑠}

Con una formula algebrica abbiamo trovato il risultato, senza dover risolvere equazioni differenziali. Poi basta riconvertire il fasore della corrente sulla resistenza in un’onda sinusoidale.