Continuità e differenziabilità delle funzioni

Funzioni continue

Sia $𝑓:𝐴\subseteq {ℝ}^{𝑛}\to ℝ$, $𝑓$ si dice continua in ${𝒑}_0$ se si avvera una delle seguenti condizioni:

• ${𝒑}_0$ è un punto isolato di $𝐴$.
• ${𝒑}_0$ è un punto di accumulazione di $𝐴$ e $\exists {lim}_{𝒑\to {𝒑}_0}𝑓\left(𝒑\right)=𝑓\left({𝒑}_0\right)$.

$𝑓$ è una funzione continua su $𝐴$ ($𝑓\in {𝐶}^0\left(𝐴\right)$) se essa è continua in ogni punto di $𝐴$.

Derivate di funzioni a più variabili

Difference between $\frac{d𝑓}{d𝑥}$, $\frac{\mathrm{\Delta }𝑓}{\mathrm{\Delta }𝑥}$, and $\frac{𝜕𝑓}{𝜕𝑥}$ on math.stackexchange.com

Derivate parziali

Una derivata parziale di una funzione è la derivata che si ottiene mantenendo costanti tutte le variabili diverse da quella rispetto alla quale si sta derivando. Il numero di derivate parziali di una funzione corrisponde al numero di variabili della funzione.

Si dice che $𝑓$ è derivabile parzialmente rispetto alla variabile $𝑥$ nel punto ${𝒑}_0=\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$ se:

$$\underset{𝑥\to {𝑥}_0}{lim}\frac{𝑓\left(𝑥,{𝑦}_0\right)-𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)}{𝑥-{𝑥}_0}=\frac{𝜕𝑓}{𝜕𝑥}\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$$

Vettore gradiente ($\nabla$)

Se $𝑓$ è derivabile parzialmente in ${𝒑}_0$ rispetto a tutte le variabili, allora il vettore gradiente di $𝑓$ in ${𝒑}_0$ è il vettore le cui componenti sono date dal valore delle derivate parziali in quel punto:

$$\nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)=\left(\frac{𝜕𝑓}{𝜕𝑥}\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right),\frac{𝜕𝑓}{𝜕𝑦}\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)\right)$$

Note

Il vettore gradiente punta sempre verso la direzione in cui il valore di $𝑓$ cambia più velocemente.

Se esiste il gradiente di $𝑓$ su tutto il dominio $𝐴$, allora $\nabla 𝑓:𝐴\subset {ℝ}^{𝑛}\to {ℝ}^{𝑛}$ è detto campo di vettori gradiente di $𝑓$.

Differenziabilità

La sola esistenza del gradiente ($\nabla 𝑓$) non è la nozione corretta di derivabilità per funzioni a più variabili. Dovremo definire delle ulteriori condizioni.

Esempio:

$$\{\begin{array}{cc}\frac{𝑥𝑦}{{𝑥}^2+{𝑦}^2}& \left(𝑥,𝑦\right)\ne \mathrm{𝟎}\\ 0& \left(𝑥,𝑦\right)=\mathrm{𝟎}\end{array}$$

È una funzione non continua in $\mathrm{𝟎}$, tuttavia esiste comunque il gradiente ($\nabla 𝑓\left(\mathrm{𝟎}\right)=\left(0,0\right)$).

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Una funzione a due variabili si dice differenziabile in ${𝒑}_0=\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$ se esiste un piano tangente al grafico di $𝑓$ nel punto $\left({𝑥}_0,{𝑦}_0,𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)\right)$.