Filtri ideali e risposta in frequenza dei segnali

Filtraggio di segnali

Un filtro è un sistema lineare tempo-invariante che elabora il segnale, restituendone una versione modificata secondo qualche criterio arbitrario.

Cosa può fare un filtro:

• può amplificare o attenuare le frequenze già presenti nel segnale originale;
• non può creare nuove frequenze o contenuti non presenti nel segnale;

In particolare, si definiscono 5 tipologie di filtri, in base alla gamma di frequenze su cui operano:

• passa-tutto: fa passare tutte le frequenze inalterate;
• passa-basso: fa passare inalterate solo le basse frequenze;
• passa-alto: fa passare inalterate solo le alte frequenze;
• passa-banda: fa passare inalterate solo certe frequenze intermedie;
• elimina-banda: elimina una data gamma di frequenze;

Risposta di un filtro ideale

Il filtro ideale lascia passare inalterate alcune frequenze e ne taglia completamente le altre.

Si può scrivere come funzione di trasferimento:

$$𝐻\left(𝑓\right)=\{\begin{array}{cc}𝑘{𝑒}^{-𝑗2𝜋𝑓{𝑡}_{𝑑}}& {𝑓}_1<𝑓<{𝑓}_2\\ 0& \text{altrove}\end{array}$$

Come si può notare, è possibile applicare 2 tipi di modifica in frequenza: un guadagno costante in ampiezza $𝑘$ e un ritardo costante ${𝑡}_{𝑑}$.

Nel dominio delle frequenze, la fase varia linearmente con una pendenza proporzionale a ${𝑡}_{𝑑}$.

Chiamiamo ${𝑓}_1$ la frequenza di taglio inferiore e ${𝑓}_2$ la frequenza di taglio superiore.

Esaminiamo ora il comportamento dei diversi filtri lasciando inalterata l’ampiezza.

Filtro passa-tutto ideale (APF)

È il caso in cui ${𝑓}_1=0$ e ${𝑓}_2=\infty$, quindi passano tutte le frequenze.

$$𝐻\left(𝑓\right)=1$$$$𝑌\left(𝑓\right)=𝑋\left(𝑓\right)𝐻\left(𝑓\right)=𝑋\left(𝑓\right)$$$$𝑦\left(𝑡\right)=𝑥\left(𝑡\right)\ast 𝛿\left(𝑡\right)=𝑥\left(𝑡\right)$$

Filtro passa-basso ideale (LPF)

È il caso in cui ${𝑓}_1=0$ e ${𝑓}_2<\infty$, quindi passano tutte le frequenze $\left|𝑓\right|<{𝑓}_2$.

$$𝐻\left(𝑓\right)=rect\left(\frac{𝑓}{2{𝑓}_2}\right)$$$$𝑌\left(𝑓\right)=𝑋\left(𝑓\right)𝐻\left(𝑓\right)=\{\begin{array}{cc}𝑋\left(𝑓\right)& \left|𝑓\right|<{𝑓}_2\\ 0& \text{altrove}\end{array}$$$$𝑦\left(𝑡\right)=2{𝑓}_2𝑥\left(𝑡\right)\ast sinc\left(2{𝑓}_2𝑡\right)$$

Il filtro passa-basso funziona come un integratore: taglia le frequenze alte e lascia inalterate quelle basse, rendendo il segnale più dolce. Di solito si usa per rimuovere le componenti di rumore dal segnale.

Filtro passa-alto ideale (HPF)

È il caso in cui ${𝑓}_1>0$ e ${𝑓}_2=\infty$, quindi passano tutte le frequenze $\left|𝑓\right|>{𝑓}_1$.

$$𝐻\left(𝑓\right)=1-rect\left(\frac{𝑓}{2{𝑓}_1}\right)$$

Tip

Il filtro passa-alto si può realizzare a partire da un filtro passa-basso.

$$𝑌\left(𝑓\right)=𝑋\left(𝑓\right)𝐻\left(𝑓\right)=\{\begin{array}{cc}𝑋\left(𝑓\right)& \left|𝑓\right|>{𝑓}_1\\ 0& \text{altrove}\end{array}$$$$𝑦\left(𝑡\right)=𝑥\left(𝑡\right)-2{𝑓}_1𝑥\left(𝑡\right)\ast sinc\left(2{𝑓}_1𝑡\right)$$

Il filtro passa-alto si comporta come un derivatore, cioè mette in risalto le variazioni all’interno del segnale. Un esempio di utilizzo è il rilevamento dei bordi nelle immagini.

Filtro passa-banda ideale (BPF)

È il caso in cui ${𝑓}_1>0$ e ${𝑓}_2<\infty$, quindi passano tutte le frequenze ${𝑓}_1<\left|𝑓\right|<{𝑓}_2$.

$$𝐻\left(𝑓\right)=rect\left(\frac{𝑓}{2{𝑓}_2}\right)-rect\left(\frac{𝑓}{2{𝑓}_1}\right)$$

Tip

Anche il passa-banda si può realizzare con una combinazione di LPF.

$$𝑌\left(𝑓\right)=𝑋\left(𝑓\right)𝐻\left(𝑓\right)=\{\begin{array}{cc}𝑋\left(𝑓\right)& {𝑓}_1<\left|𝑓\right|<{𝑓}_2\\ 0& \text{altrove}\end{array}$$$$𝑦\left(𝑡\right)=2𝑥\left(𝑡\right)\ast \left({𝑓}_{2}sinc\left(2{𝑓}_2𝑡\right)-{𝑓}_{1}sinc\left(2{𝑓}_1𝑡\right)\right)$$