Spazi di righe e colonne, rango e funzioni lineari

Spazio delle colonne e spazio delle righe di una matrice

Data una matrice $𝑨 \in 𝕄_{𝑚, 𝑛} (ℝ)$ , dove $𝒄_{1}, \dots, 𝒄_{𝑛}$ sono le sue colonne e $𝒓_{1}, \dots, 𝒓_{𝑚}$ le sue righe:

$𝐶 (𝑨) = span ({𝒄_{1}, \dots, 𝒄_{𝑛}})$ è lo spazio delle colonne di $𝑨$ .
$𝑅 (𝑨) = span ({𝒓_{1}, \dots, 𝒓_{𝑚}})$ è lo spazio delle righe di $𝑨$ .

Il rango $rg (𝑨)$ è la dimensione dello spazio delle righe:

dim (𝑅 (𝑨)) = rg (𝑨)

Coordinate di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $𝑉$ , ogni suo elemento si può esprimere come combinazione lineare:

𝒗 = \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑣_{𝑖} 𝒃_{𝑖}

Gli scalari $𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}$ sono detti coordinate di $𝒗$ rispetto alla base $ℬ︀ = {𝒃_{1}, \dots, 𝒃_{𝑛}}$ .

D’ora in poi chiameremo $𝑇_{ℬ︀} : 𝑉 \to ℝ^{𝑛}$ la funzione biunivoca e lineare che associa ad ogni vettore di $𝑉$ un’ennupla formata dalle coordinate di quel vettore.

Funzioni lineari

Dati due spazi vettoriali $𝑉$ e $𝑉^{'}$ , una funzione da $𝑉$ in $𝑉^{'}$ è detta lineare se, per ogni $𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ e per ogni $𝜆, 𝜇 \in ℝ$ :

𝑓 (𝜆 𝒗 + 𝜇 𝒘) = 𝜆 𝑓 (𝒗) + 𝜇 𝑓 (𝒘)

Gli spazi $𝑉$ e $𝑉^{'}$ sono detti rispettivamente dominio e codominio di $𝑓$ . Se $𝑉 = 𝑉^{'}$ allora la funzione è detta endomorfismo.

Se una funzione lineare è biunivoca, essa viene detta isomorfismo; in tal caso $𝑉$ e $𝑉^{'}$ hanno la stessa dimensione e sono detti spazi isomorfi.

Proprietà:

La funzione inversa di una funzione lineare biunivoca è anch’essa lineare.
La composizione di due funzioni lineari è anch’essa una funzione lineare.

Rappresentazione sotto forma di matrice

Una funzione lineare è sempre rappresentata da una certa matrice, che varia a seconda della base scelta per il dominio e il codominio (più avanti vedremo come trovare questa matrice rappresentativa).

Data una funzione lineare $𝑓$ rappresentata da una matrice $𝑨$ , si ha:

𝑓 (𝒗) = 𝑨 𝒗

Una funzione lineare non è altro che la moltiplicazione di un vettore per la sua matrice rappresentativa.

Se $𝑉 = 𝑉^{'}$ , la matrice rappresentativa è quadrata e $𝑓$ è un endomorfismo; se invece le dimensioni di dominio e codominio sono diverse, la matrice non è quadrata.

Composizione di funzioni lineari

La composizione di due funzioni lineari, ovvero l’applicazione di una trasformazione $𝑔$ al risultato della trasformazione $𝑓$ del vettore $𝒗$ , si scrive nel modo seguente:

(𝑔 \circ 𝑓) (𝒗) = 𝑔 (𝑓 (𝒗))

In termini di matrici, se la funzione $𝑔$ è rappresentata da una matrice $𝑨$ e la funzione $𝑓$ è rappresentata da una matrice $𝑩$ , allora la composizione è data dal prodotto delle due matrici rappresentative.

(𝑔 \circ 𝑓) (𝒗) = 𝑨 𝑩 𝒗