Derivate parziali superiori e formule di Taylor

Derivate parziali di ordine superiore

Sia $𝑓 : 𝐴 \subseteq ℝ^{𝑛} \to ℝ$ e assumiamo che $\forall 𝑖 = 1, \dots, 𝑛, \exists \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑖}}$ . La derivata seconda rispetto alla direzione $𝑗$ -esima della derivata $𝑖$ -esima è definita come:

\frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑗} 𝜕 𝑥_{𝑖}} (𝒙) = \frac{𝜕}{𝜕 𝑥_{𝑗}} (\frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑖}}) (𝒙)

Se $𝑗 = 𝑖$ , la derivata parziale seconda è denominata pura; altrimenti, è detta mista.

Matrice hessiana

La matrice hessiana di $𝑓 : ℝ^{𝑛} \to ℝ$ è la matrice $𝑛 \times 𝑛$ definita da:

𝐷_{𝑓}^{2} (𝒙) = (\begin{matrix} \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{1}^{2}} (𝒙) & \dots & \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{1} 𝜕 𝑥_{𝑛}} (𝒙) \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑛} 𝜕 𝑥_{1}} (𝒙) & \dots & \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑛}^{2}} (𝒙) \end{matrix})

Teorema sull’inversione dell’ordine di derivazione di Schwarz

In generale, le derivate parziali seconde miste opposte tra loro (rispetto alla diagonale dell’hessiana) possono essere diverse.

\frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑗} 𝜕 𝑥_{𝑖}} \neq \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑖} 𝜕 𝑥_{𝑗}}

L’uguaglianza tra queste derivate in un punto $𝒙$ è garantita se le due derivate parziali seconde sono continue in un intorno di $𝒙$ :

\frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑗} 𝜕 𝑥_{𝑖}}, \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑖} 𝜕 𝑥_{𝑗}} \in 𝐶^{0} (𝒙) \Rightarrow \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑗} 𝜕 𝑥_{𝑖}} (𝒙) = \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥_{𝑖} 𝜕 𝑥_{𝑗}} (𝒙)

Ordini di continuità superiori

Si dice che $𝑓$ sia di classe $𝐶^{𝑚} (𝐴)$ se tutte le sue derivate parziali $𝑚$ -esime sono continue e $𝑓 \in 𝐶^{𝑚 - 1} (𝐴)$ .

Formula di Taylor

Problema: Data una funzione $𝑓 : 𝐵 (𝒑_{0}, 𝑟) \subseteq ℝ^{2} \to ℝ$ , di classe $𝐶^{𝑚 (𝐵 (𝒑_{0}, 𝑟))}$ ; come la si può approssimare con un polinomio di 2 variabili di ordine $𝑚$ nel modo migliore possibile?

Preso un punto $𝒑_{0} = (𝑥_{0}, 𝑦_{0}) \in ℝ^{2}$ , si definisce come polinomio di ordine $𝑚$ di 2 variabili, centrato in $𝒑_{0}$ , una funzione $𝑇 : ℝ^{2} \to ℝ$ del tipo:

𝑇_{𝑚, 𝒑_{0}} (𝑥, 𝑦) = \sum_{ℎ = 0}^{𝑚} \sum_{𝑖 = 0}^{ℎ} 𝑐_{𝑖, ℎ - 𝑖} {(𝑥 - 𝑥_{0})}^{𝑖} {(𝑦 - 𝑦_{0})}^{ℎ - 𝑖}

dove i coefficienti $𝑐_{𝑖, ℎ - 𝑖} \in ℝ$ sono $\frac{(𝑚 + 1) (𝑚 + 2)}{2}$ in totale.

L’approssimazione di $𝑓 (𝒑)$ in $𝒑_{0}$ è data dal valore del polinomio più un errore di ordine superiore:

𝑓 (𝒑) ≃ 𝑇_{𝑚, 𝒑_{0}} (𝒑) + 𝑜 ({‖ 𝒑 - 𝒑_{0} ‖}^{𝑚})

Formula di Taylor di 2° ordine con resto di Peano

Presi $𝒑_{0} \in ℝ^{2}$ e $𝑓 \in 𝐶^{2} (𝐵 (𝒑_{0}, 𝑟))$ :

\begin{aligned} 𝑇_{2, 𝒑_{0}} (𝒑) & = 𝑓 (𝒑_{0}) \\ + \nabla 𝑓 (𝒑_{0}) \cdot (𝒑 - 𝒑_{0}) \\ + \frac{1}{2} (𝐷_{𝑓}^{2} (𝒑_{0}) (𝒑 - 𝒑_{0})) \cdot (𝒑 - 𝒑_{0}) \end{aligned}