Autovettori, autovalori e diagonalizzazione

Autovettori e autovalori

Dato un endomorfismo $𝑓:𝑉\to 𝑉$, un vettore $𝒗\in 𝑉$, con $𝒗\ne \mathrm{𝟎}$, è detto autovettore se:

$$\exists 𝜆\in ℝ|𝑓\left(𝒗\right)=𝜆𝒗$$

Uno scalare $𝜆$ è detto autovalore se:

$$\exists 𝒗\in 𝑉,𝒗\ne \mathrm{𝟎}|𝑓\left(𝒗\right)=𝜆𝒗$$

L’insieme degli autovalori di $𝑓$ si chiama spettro di $𝑓$.

Dato un autovalore $𝜆$, l’autospazio relativo a $𝜆$ è il sottospazio di $𝑉$:

$$𝐸\left(𝜆\right)=\left\{𝒗\in 𝑉|𝑓\left(𝒗\right)=𝜆𝒗\right\}$$

Esempio: $𝑓:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$, $𝑓:\left({𝑣}_1,{𝑣}_2\right)\to \left({𝑣}_2,{𝑣}_1\right)$

• $𝜆=1$ è un autovalore di $𝑓$, con autovettore $𝒗=\left(1,1\right)$. Allora $𝒗\in 𝐸\left(1\right)$ perché $𝑓\left(𝒗\right)=1𝒗$.
• $𝜆=-1$ è un autovalore di $𝑓$, con autovettore $𝒗=\left(1,-1\right)$. Allora $𝒗\in 𝐸\left(-1\right)$ perché $𝑓\left(𝒗\right)=-1𝒗$.

Dati ${𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑘}$ autovalori distinti di $𝑓$ e ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\in 𝑉$ autovettori non nulli tali che $𝑓\left({𝒗}_{𝑖}\right)={𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}$, allora l’insieme $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}$ è linearmente indipendente.

Come trovare gli autovalori di $𝑓$

Dati un qualunque endomorfismo $𝑓:𝑉\to 𝑉$, una base $\mathrm{𝒜︀}$ di $𝑉$ e la matrice rappresentativa $𝑴={𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{𝒜︀}}\left(𝑓\right)$, $𝜆$ è un autovalore di $𝑓$ se e solo se esiste $𝒗\ne \mathrm{𝟎}$ tale che $𝑓\left(𝒗\right)=𝜆𝒗$, ovvero:

$$\begin{array}{c}𝑴𝒗=𝜆𝑰𝒗\\ \Updownarrow \\ \left(𝑴-𝜆𝑰\right)𝒗=\mathrm{𝟎}\\ \Updownarrow \\ det\left(𝑴-𝜆𝑰\right)=0\end{array}$$

Il polinomio caratteristico di $𝑓$ è il polinomio con variabile $𝜆$:

$${𝜒}_{𝑓}\left(𝜆\right)=det\left(𝑴-𝜆𝑰\right)$$

Se prendiamo una base diversa da $\mathrm{𝒜︀}$, il polinomio non cambia. Infatti gli autovalori e i rispettivi autovettori sono utili per descrivere un’applicazione lineare a prescindere dalla base usata, cosa che non è vera per le matrici rappresentative rispetto ad una base.

$𝑓$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di $𝑉$ formata da autovettori di $𝑓$.

Come trovare gli autovettori di $𝑓$

Sia ${𝜆}_{𝑖}$ un autovalore di $𝑓$, allora:

$$\begin{array}{c}𝑓\left(𝒗\right)={𝜆}_{𝑖}𝒗\\ \Updownarrow \\ 𝑓\left(𝒗\right)-{𝜆}_{𝑖}Id\left(𝒗\right)=\mathrm{𝟎}\\ \Updownarrow \\ \left(𝑓-{𝜆}_{𝑖}Id\right)\left(𝒗\right)=\mathrm{𝟎}\\ \Updownarrow \\ \left(𝑴-{𝜆}_{𝑖}𝑰\right)𝒗=\mathrm{𝟎}\end{array}$$

Quindi:

$$𝐸\left({𝜆}_{𝑖}\right)=\left\{𝒗|𝑓\left(𝒗\right)={𝜆}_{𝑖}𝒗\right\}=ker\left(𝑓-{𝜆}_{𝑖}Id\right)$$

Note

$Id$ è una funzione lineare che lascia invariato il vettore. Quindi la sua matrice rappresentativa è $𝑰$.

Molteplicità geometrica e molteplicità algebrica

Sia ${𝜆}_0$ un autovalore di $𝑓$:

• La molteplicità algebrica di ${𝜆}_0$, $𝑎\left({𝜆}_0\right)$, è la molteplicità di ${𝜆}_0$ come radice di ${𝜒}_{𝑓}\left(𝜆\right)$.
• La molteplicità geometrica di ${𝜆}_0$, $𝑔\left({𝜆}_0\right)$, è la dimensione dell’autospazio $𝐸\left({𝜆}_0\right)$.

Per ogni autovalore vale:

$$1\le 𝑔\left({𝜆}_0\right)\le 𝑎\left({𝜆}_0\right)$$

Criterio di diagonalizzabilità

$𝑓:𝑉\to 𝑉$ è un endomorfismo diagonalizzabile se e solo se:

• ${𝜒}_{𝑓}\left(𝜆\right)$ è totalmente riducibile (fattorizzabile come prodotto di polinomi di grado 1).
• Per ogni autovalore ${𝜆}_{𝑖}$ si ha $𝑎\left({𝜆}_{𝑖}\right)=𝑔\left({𝜆}_{𝑖}\right)$.