Rette e piani nello spazio: posizioni reciproche

Posizione reciproca nello spazio

Tra due rette

Due rette distinte $𝑟_{1}$ e $𝑟_{2}$ , individuate rispettivamente da un punto e un vettore direzionale ( $𝑃$ , $𝒗$ e $𝑄$ , $𝒘$ ), possono essere:

parallele se $𝒗 = 𝜆 𝒘$ ;
incidenti se hanno un punto in comune;
sghembe se non sono né parallele né incidenti.

$𝑟_{1}$ e $𝑟_{2}$ sono ortogonali se non sono parallele e se $𝒗 \cdot 𝒘 = 0$ .

Rette complanari

Due rette parallele o incidenti giacciono sullo stesso piano. Per trovare il piano $𝜋$ che le contiene:

Se $𝑟_{1}$ e $𝑟_{2}$ sono incidenti, si possono ottenere equazioni parametriche di $𝜋$ usando le coordinate del punto di intersezione $𝑃_{0}$ e dei vettori direzionali $𝒗_{1}$ e $𝒗_{2}$ :
${\begin{cases} 𝑥 = 𝑥_{𝑃_{0}} + 𝑡 𝑣_{1_{1}} + 𝑠 𝑣_{2_{1}} \\ 𝑦 = 𝑦_{𝑃_{0}} + 𝑡 𝑣_{1_{2}} + 𝑠 𝑣_{2_{2}} \\ 𝑧 = 𝑧_{𝑃_{0}} + 𝑡 𝑣_{1_{3}} + 𝑠 𝑣_{2_{3}} \end{cases}$
Se sono parallele, si considera il fascio di piani avente sostegno $𝑟_{1}$ : ce n’è uno che contiene $𝑟_{2}$ . Si prende l’equazione del fascio e si impone il passaggio per un punto di $𝑟_{2}$ non appartenente a $𝑟_{1}$ .

Tra due piani

Dati $𝜋_{1} : 𝑛_{1_{1}} 𝑥 + 𝑛_{1_{2}} 𝑦 + 𝑛_{1_{3}} 𝑧 + 𝑑_{1} = 0$ e $𝜋_{2} : 𝑛_{2_{1}} 𝑥 + 𝑛_{2_{2}} 𝑦 + 𝑛_{2_{3}} 𝑧 + 𝑑_{2} = 0$ , essi possono essere:

paralleli (o coincidenti) se $𝒏_{1} = 𝜆 𝒏_{2}$ ;
incidenti altrimenti (la loro intersezione è una retta).

$𝜋_{1}$ e $𝜋_{2}$ sono ortogonali se $𝒏_{1} \cdot 𝒏_{2} = 0$ .

Tra una retta e un piano

Dati un piano $𝜋$ con vettore normale $𝒏$ e una retta $𝑟$ con vettore direzionale $𝒗$ , essi possono essere:

paralleli se $𝒏 \cdot 𝒗 = 0$ ; in questo caso la retta è parallela al piano oppure giace su di esso;
incidenti se $𝒏 \cdot 𝒗 \neq 0$ , cioè se si intersecano in un solo punto.

$𝑟$ e $𝜋$ sono ortogonali se $𝒗 = 𝜆 𝒏$ .